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関数の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学数学関数

1 次関数 $y = a x + b$ について、 $x$ の変域が $- 2 ≦ x ≦ 4$ のとき、 $y$ の変域は $- 1 ≦ y ≦ 8$ である。ただし、 $a < 0$ とする。

$a$ , $b$ の値を、この順に求めよ。

この問題で使うもの

1 次関数の変域（説明と入口の問題）
1 次関数の式の求め方（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$a < 0$ のとき、1 次関数は $x$ が増えると $y$ が減る。 $x$ の変域の両端で $y$ がそれぞれ最大・最小のどちらになるか考えよう。

ヒント 2

$x = - 2$ のとき $y = 8$ 、 $x = 4$ のとき $y = - 1$ となる。グラフはこの 2 点を通る直線である。

ヒント 3

2 点を通る直線の傾きは $\frac{- 1 - 8}{4 - ( - 2 )}$ で求められる。求めた傾きを使い、1 点の座標を代入して $b$ を求めよう。

答えと解説

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(- \frac{3}{2}, 5)

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解説を読む

1 次関数のグラフは直線であり、 $a < 0$ なので、 $x$ が増加すると $y$ は減少する。

したがって、 $x$ の変域の左端 $x = - 2$ のとき $y$ は最大値 $8$ をとり、右端 $x = 4$ のとき $y$ は最小値 $- 1$ をとる。つまり、グラフは 2 点 $(- 2, 8)$ 、 $(4, - 1)$ を通る。

傾き $a$ は
$a = \frac{- 1 - 8}{4 - ( - 2 )} = \frac{- 9}{6} = - \frac{3}{2}$
これは $a < 0$ を満たす。

$y = - \frac{3}{2} x + b$ に $x = - 2$ 、 $y = 8$ を代入すると
$8 = - \frac{3}{2} \times (- 2) + b = 3 + b$
より $b = 5$ 。

確認: $y = - \frac{3}{2} x + 5$ で $x = 4$ のとき $y = - 6 + 5 = - 1$ となり、条件に合う。

よって、 $a = - \frac{3}{2}$ 、 $b = 5$ である。

別解

$a < 0$ なので、 $x$ が増加すると $y$ は減少する。よって $x = - 2$ のとき $y = 8$ 、 $x = 4$ のとき $y = - 1$ である。
変化の割合は $a = \frac{- 1 - 8}{4 - ( - 2 )} = \frac{- 9}{6} = - \frac{3}{2}$ 。
$x = - 2, y = 8$ を $y = - \frac{3}{2} x + b$ に代入すると $8 = 3 + b$ より $b = 5$ 。
検算: $y = - \frac{3}{2} x + 5$ で $x = 4$ のとき $y = - 6 + 5 = - 1$ 、 $x = - 2$ のとき $y = 3 + 5 = 8$ となり、 $- 2 ≦ x ≦ 4$ で $y$ の変域は $- 1 ≦ y ≦ 8$ 。 $a < 0$ も満たす。

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