1 次関数の変域

$x$ の変域から $y$ の変域を求めたり、 $x, y$ の変域と傾きの符号から $a, b$ を求めたりできる

前提

1 次関数の式の求め方（中学数学関数）

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算数中学高校大学大学院

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1 次関数の式の求め方（中学数学関数）

説明

1 次関数 $y = a x + b$ で、 $x$ がとる値の範囲（ $x$ の変域）が決まっているとき、 $y$ がとる値の範囲（ $y$ の変域）を求められるようになります。また逆に、 $x$ と $y$ の変域と傾きが正か負かがわかっているとき、 $a, b$ の値を求められるようになります。グラフが直線の一部分（線分）になる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

1 次関数 $y = a x + b$ では、 $x$ が 1 増えると $y$ はいつも $a$ だけ変わります。だから $a > 0$ なら、 $x$ が大きくなるほど $y$ も大きくなり、 $a < 0$ なら、 $x$ が大きくなるほど $y$ は小さくなります。途中で増えたり減ったりが入れかわることはありません。

そのため、 $x$ の変域が $p ≦ x ≦ q$ なら、 $y$ の最も小さい値と最も大きい値は、必ず両端 $x = p$ と $x = q$ のときに出てきます。 $a > 0$ なら「 $x = p$ で $y$ が最小、 $x = q$ で $y$ が最大」、 $a < 0$ なら「 $x = p$ で $y$ が最大、 $x = q$ で $y$ が最小」です。 $x$ の端に等号がないとき（ $p < x$ など）は、その端に対応する $y$ の端にも等号はつきません。

逆に $x, y$ の変域がわかっているときは、傾きの符号から「 $x$ のどちらの端が $y$ のどちらの端と組になるか」が決まります。組になる 2 点をグラフが通るので、それぞれを $y = a x + b$ に代入すれば $a, b$ の連立方程式ができます。

手順

傾き $a$ が正か負かを確かめる（ $a > 0$ なら右上がり、 $a < 0$ なら右下がり）
$x$ の変域の両端の値を、それぞれ式に代入して $y$ の値を求める
小さい方を $y$ の変域の左端、大きい方を右端にする。 $x$ の端の等号のあり・なしは、対応する $y$ の端に引きつぐ
$a, b$ を求める問題では、傾きの符号から $x$ の端と $y$ の端の組を決める（ $a > 0$ なら左端どうし・右端どうし、 $a < 0$ なら $x$ の左端と $y$ の右端、 $x$ の右端と $y$ の左端）
組になった 2 点の座標を $y = a x + b$ に代入して連立方程式を作り、 $a, b$ を求める

例題

1 次関数 $y = a x + b$ （ $a < 0$ ）で、 $x$ の変域が $- 2 ≦ x ≦ 4$ のとき、 $y$ の変域は $- 1 ≦ y ≦ 5$ である。 $a, b$ の値を順に求めよ。

例題の解答

手順 1: $a < 0$ なので、 $x$ が大きくなるほど $y$ は小さくなる。

手順 4: よって $x$ が最も小さい $x = - 2$ のとき $y$ は最も大きい $5$ 、 $x$ が最も大きい $x = 4$ のとき $y$ は最も小さい $- 1$ 。グラフは 2 点 $(- 2, 5)$ 、 $(4, - 1)$ を通る。

手順 5: 代入して $- 2 a + b = 5$ …①、 $4 a + b = - 1$ …②。② $-$ ①より $6 a = - 6$ 、 $a = - 1$ 。①に代入して $2 + b = 5$ 、 $b = 3$ 。

確かめ: $y = - x + 3$ で、 $x = - 2$ のとき $y = 5$ 、 $x = 4$ のとき $y = - 1$ 。 $a = - 1 < 0$ も条件に合う。

よって $a = - 1, b = 3$ 。

答え: $(- 1, 3)$

よくある誤り

傾きが負なのに端どうしをそのまま組にする誤り。上の例で $(- 2, - 1)$ 、 $(4, 5)$ を通るとして $a = 1, b = 1$ とするのは誤り。 $a < 0$ という条件に合わない。正しくは $(- 2, 5)$ 、 $(4, - 1)$ を組にする
$y$ の変域を、 $x = - 2$ のときの $y$ から $x = 4$ のときの $y$ の順に書いてしまう誤り。 $y = - x + 3$ で $- 2 ≦ x ≦ 4$ のとき「 $5 ≦ y ≦ - 1$ 」とするのは誤り。正しくは小さい方から $- 1 ≦ y ≦ 5$
等号のあり・なしを正しく引きつがない誤り。 $y = - x + 3$ で $- 2 < x ≦ 4$ のとき $- 1 ≦ y ≦ 5$ とするのは誤り。 $x = - 2$ はふくまれないので、対応する $y = 5$ もふくまれず、正しくは $- 1 ≦ y < 5$
$x$ の変域の間の $x = 0$ などで $y$ が最大・最小になると考える誤り。1 次関数は増え続けるか減り続けるかのどちらかなので、最大・最小は必ず両端でとる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
1 次関数 $y = - 2 x + 3$ で、 $x$ の変域が $- 1 ≦ x ≦ 4$ のとき、 $y$ の変域は $p ≦ y ≦ q$ と表せます。 $p, q$ の値を求め、 $(p, q)$ の組で答えなさい。

この技能を使う問題

難易度 3（公立高校入試の標準レベル）
1 次関数 $y = a x + b$ について、 $x$ の変域が $- 2 ≦ x ≦ 4$ のとき、 $y$ の変域は $- 1 ≦ y ≦ 8$ である。ただし、 $a < 0$ とする。
$a$ , $b$ の値を、この順に求めよ。