因数分解による 2 次方程式の解き方

2 次方程式 $x^2+x-12=0$ を解き、解をすべて求めなさい。

$x$ についての 2 次方程式 $$(x+3{)}^2=5(x+3)+14$$ を解け。解をすべて求めよ。

$a$ を定数とする。$x$ についての 2 次方程式 $$x^2+ax+3a-2=0$$ の解の 1 つが $x=4$ であるとき、もう 1 つの解を求めよ。

関数 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ のグラフと直線 $y=-x+4$ が、2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ で交わっている。ただし、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は負、点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標は正である。原点を $\mathrm{O}$ とするとき、$△\mathrm{OAB}$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。ただし、座標の 1 目盛りを 1 cm とする。

関数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ のグラフと直線 $y=x-4$ が、2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ で交わっている。ただし、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標より小さいものとする。原点を $\mathrm{O}$ とするとき、$△\mathrm{OAB}$ の面積を求めよ。ただし、座標の 1 目もりの長さは $1$ とする。

2 次方程式 $2x^2-5x-3=0$ を解き、解をすべて求めなさい。

関数 $y=-x^2$ のグラフと直線 $y=x-6$ が 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ で交わっている。ただし、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標より小さい。原点を $\mathrm{O}$ とし、座標の 1 目もりを $1\text{cm}$ とする。

$△\mathrm{OAB}$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。

関数 $y=x^2$ のグラフと直線 $y=-x+2$ が 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ で交わっている。ただし、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は負、点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標は正である。また、$y$ 軸上に点 $\mathrm{D}(0,-4)$ をとる。座標の 1 目もりを $1\text{cm}$ とする。

$△\mathrm{ABD}$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。

関数 $y=\frac{1}{3}{x}^2$ のグラフと直線 $y=x+6$ が 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ で交わっている。ただし、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標より小さいとする。原点を $\mathrm{O}$ とするとき、$△\mathrm{OAB}$ の面積を求めよ。ただし、座標の 1 目もりを 1 cm とする。

横の長さが縦の長さより 6 cm 長い長方形の厚紙がある。この厚紙の四すみから 1 辺が 3 cm の正方形を切り取り、残りを折り曲げてふたのない直方体の箱をつくったところ、箱の容積が 840 cm³ になった。もとの厚紙の縦の長さは何 cm か求めよ。ただし、厚紙の厚さは考えないものとする。

$x$ についての 2 次方程式 $x^2+ax+b=0$ の 2 つの解は、2 次方程式 $x^2-2x-15=0$ の 2 つの解にそれぞれ $2$ を加えた数である。定数 $a,b$ の値を求めよ。答えは $(a,b)$ の組で、この順に書け。

ある店では、1 個 $200$ 円の焼き菓子が 1 日に $600$ 個売れている。この焼き菓子の 1 個の値段を $x$ 円値上げすると、1 日に売れる個数は $2x$ 個減ることがわかっている。値上げしたところ、1 日の売り上げの合計が $124200$ 円になり、1 日に売れた個数は $500$ 個より多かった。値上げした後の焼き菓子 1 個の値段は何円か求めよ。ただし、$x$ は正の整数とする。

1 辺の長さが $12\text{cm}$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ がある。点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{A}$ を出発して辺 $\mathrm{AB}$ 上を頂点 $\mathrm{B}$ に向かって毎秒 $1\text{cm}$ の速さで動き、点 $\mathrm{Q}$ は点 $\mathrm{P}$ と同時に頂点 $\mathrm{B}$ を出発して辺 $\mathrm{BC}$ 上を頂点 $\mathrm{C}$ に向かって毎秒 $2\text{cm}$ の速さで動く。点 $\mathrm{Q}$ が頂点 $\mathrm{C}$ に着いたとき、2 点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ は同時に止まる。$△\mathrm{PBQ}$ の面積が $27{\text{cm}}^2$ になるのは、2 点が出発してから何秒後か求めよ。

縦 $20\text{m}$、横 $30\text{m}$ の長方形の土地があります。この土地に、縦の辺に平行な道を 1 本と、横の辺に平行な道を 1 本、どちらも同じ幅 $x\text{m}$ でつくります。2 本の道はそれぞれ土地の向かい合う辺から辺まで通っていて、土地の中で十字に交わっています。道を除いた残りの部分を花だんにしたところ、花だんの面積の合計は $504{\text{m}}^2$ になりました。道の幅 $x$ を求めなさい。ただし、$0<x<20$ とします。

1 辺が $12$ cm の正方形 $\mathrm{ABCD}$ があり、頂点は $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ の順に並んでいる。点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{A}$ を出発して辺 $\mathrm{AB}$ 上を $\mathrm{B}$ に向かって毎秒 $1$ cm の速さで動き、点 $\mathrm{Q}$ は点 $\mathrm{P}$ と同時に頂点 $\mathrm{B}$ を出発して辺 $\mathrm{BC}$ 上を $\mathrm{C}$ に向かって毎秒 $2$ cm の速さで動く。2 点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ は、出発してから $6$ 秒後に同時に止まるものとする。$△\mathrm{DPQ}$ の面積が $64{\mathrm{cm}}^2$ になるのは、出発してから何秒後か。考えられるものをすべて求めよ。

座標平面上に、4 点 $\mathrm{O}(0,0)$, $\mathrm{A}(10,0)$, $\mathrm{B}(10,3)$, $\mathrm{C}(0,3)$ を頂点とする長方形 $\mathrm{OABC}$ がある。また、$t$ を $0\leqq t\leqq 10$ を満たす数として、3 点 $\mathrm{P}(t,0)$, $\mathrm{Q}(t-12,0)$, $\mathrm{R}(t-12,6)$ を頂点とする直角三角形 $\mathrm{PQR}$ を考える。

三角形 $\mathrm{PQR}$ は、形を変えずに $x$ 軸の正の向きに毎秒 $1$ の速さで動き、動き始めてから $t$ 秒後に上の位置にある。$t$ 秒後に、長方形 $\mathrm{OABC}$ と三角形 $\mathrm{PQR}$ が重なっている部分の面積を $S$ とする。

$a$ は $0<a\leqq 5$ を満たす数とする。$a$ 秒後の $S$ と $2a$ 秒後の $S$ の比が $4:15$ であるとき、$a$ の値を求めよ。