方程式の問題

出発してから $x$ 秒後（$0<x\le 6$）を考える。

$\mathrm{AP}=x$ cm、$\mathrm{PB}=(12-x)$ cm、$\mathrm{BQ}=2x$ cm、$\mathrm{QC}=(12-2x)$ cm である。

$△\mathrm{DPQ}$ の面積は、正方形の面積から、まわりの 3 つの直角三角形 $△\mathrm{APD},△\mathrm{PBQ},△\mathrm{QCD}$ の面積をひいて求める。

• $△\mathrm{APD}=\frac{1}{2}\times x\times 12=6x$
• $△\mathrm{PBQ}=\frac{1}{2}\times (12-x)\times 2x=12x-x^2$
• $△\mathrm{QCD}=\frac{1}{2}\times (12-2x)\times 12=72-12x$

3 つの和は
$$6x+(12x-x^2)+(72-12x)=-x^2+6x+72$$
よって
$$△\mathrm{DPQ}=144-(-x^2+6x+72)=x^2-6x+72$$

これが $64$ になるので
$$x^2-6x+72=64$$
$$x^2-6x+8=0$$
$$(x-2)(x-4)=0$$
$$x=2,4$$

どちらも $0<x\le 6$ を満たすので、問題に合う。

確かめると、$x=2$ のとき $4-12+72=64$、$x=4$ のとき $16-24+72=64$ となる。

よって $2$ 秒後と $4$ 秒後である。

出発して $t$ 秒後（$0\le t\le 6$）を考えます。$\mathrm{AP}=t$、$\mathrm{PB}=12-t$、$\mathrm{BQ}=2t$、$\mathrm{QC}=12-2t$ cm です（$2t\le 12$ なので $Q$ は辺 BC 上にあります）。

$△\mathrm{DPQ}$ は、正方形から $3$ つの三角形をひいて求めます。
- $△\mathrm{DAP}=\frac{1}{2}\times 12\times t=6t$
- $△\mathrm{PBQ}=\frac{1}{2}\times (12-t)\times 2t=12t-t^2$
- $△\mathrm{QCD}=\frac{1}{2}\times (12-2t)\times 12=72-12t$

$△\mathrm{DPQ}=144-6t-(12t-t^2)-(72-12t)=t^2-6t+72$ cm${}^2$。

これが $64$ になるので $t^2-6t+72=64$、$t^2-6t+8=0$、$(t-2)(t-4)=0$ より $t=2,4$。どちらも $0\le t\le 6$ を満たします。

検算: $t=2$ のとき $4-12+72=64$、$t=4$ のとき $16-24+72=64$ で、ともに $64$ cm${}^2$ です。