2 次方程式の解の公式

解の公式 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ を使って、 $2 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ のように因数分解できない 2 次方程式を解き、約分して簡単な形で答えられる

前提

平方根の考えを使った 2 次方程式の解き方（中学数学方程式）

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算数中学高校大学大学院

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平方根の考えを使った 2 次方程式の解き方（中学数学方程式）

説明

$a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）の形の 2 次方程式なら、係数 $a, b, c$ を公式に代入するだけで解が求められるようになります。 $2 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ のように、因数分解ではうまく解けない 2 次方程式でも使えるのが強みです。答えは根号の中をできるだけ小さい自然数にし、約分できるときは約分して簡単な形にします。

なぜそうしてよいのか

解の公式は、平方根の考えを使った解き方「 $(x + p)^{2} = q$ の形にして $x = - p \pm q$ 」を、一般の $a x^{2} + b x + c = 0$ に対して 1 回だけやっておいたものです。

まず両辺を $a$ でわり、 $c$ の項を移項すると $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$ 。ここで、分配法則で $(x + p)^{2} = x^{2} + 2 p x + p^{2}$ となることから、 $x$ の係数 $\frac{b}{a}$ の半分 $\frac{b}{2 a}$ を $p$ にとり、両辺に $p^{2} = \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}}$ をたすと、左辺が $(x + \frac{b}{2 a})^{2}$ にまとまります。右辺は $\frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} - \frac{c}{a} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}$ です。

よって $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}$ 。 $b^{2} - 4 a c$ が 0 以上なら、平方根の考えで $x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ （ $4 a^{2}$ は $2 a$ か $- 2 a$ ですが、 $\pm$ がついているのでどちらで書いても同じ 2 つの数を表します）。 $\frac{b}{2 a}$ を移項して $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ が得られます。 $b^{2} - 4 a c$ が負の数のときは、2 乗して負になる数はないので、解はありません。

手順

方程式を $a x^{2} + b x + c = 0$ の形（右辺が 0）に整理し、 $a, b, c$ の値を符号ごと読み取る
公式 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ に代入する。負の数はかっこをつけて代入する
根号の中の $b^{2} - 4 a c$ を計算する（負なら解なし、0 なら解は 1 つ）
根号の中をできるだけ小さい自然数にする（例: $40 = 210$ ）
分子のすべての項と分母に共通な約数があれば約分し、解を 2 つとも書く

例題

2 次方程式 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ の解をすべて求めよ。

例題の解答

手順 1: 右辺はすでに 0。 $a = 3, b = - 4, c = - 2$ 。

手順 2: 公式に代入すると $x = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \times 3 \times ( - 2 )}{2 \times 3}$ 。

手順 3: 根号の中は $16 + 24 = 40$ で正の数。よって $x = \frac{4 \pm 40}{6}$ 。

手順 4: $40 = 2^{2} \times 10$ なので $40 = 210$ 。 $x = \frac{4 \pm 2 10}{6}$ 。

手順 5: 分子の $4$ と $210$ 、分母の $6$ はすべて 2 でわれるので約分して $x = \frac{2 \pm 10}{3}$ 。つまり $x = \frac{2 + 10}{3}$ と $x = \frac{2 - 10}{3}$ 。

答え: $\frac{2 + 10}{3}, \frac{2 - 10}{3}$

よくある誤り

$b$ が負の数のとき $- b$ の符号を間違える誤り。 $b = - 4$ なのに分子を $- 4 \pm \dots$ とするのは誤り。正しくは $- b = - (- 4) = 4$
$c$ が負の数のとき $- 4 a c$ の符号を間違える誤り。 $a = 3, c = - 2$ で $b^{2} - 4 a c = 16 - 24 = - 8$ とするのは誤り。正しくは $- 4 \times 3 \times (- 2) = + 24$ なので $16 + 24 = 40$
分子の一部だけを約分する誤り。 $\frac{4 \pm 2 10}{6}$ を $\frac{4 \pm 10}{3}$ とするのは誤り。分子の 2 つの項の両方を 2 でわるので、正しくは $\frac{2 \pm 10}{3}$
分母を $2 a$ ではなく $2$ にしたり、 $- b$ だけを分母でわったりする誤り。 $x = - b \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ は誤り。正しくは分子 $- b \pm b^{2} - 4 a c$ 全体を $2 a$ でわる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
2 次方程式 $3 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ を解の公式を使って解き、解をすべて求めなさい。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 次方程式の解の代入（係数の決定・式の値）（中学数学方程式）
2 次方程式の文章題（中学数学方程式）