2 次方程式の解の代入（係数の決定・式の値）

解が与えられた 2 次方程式の係数を求めたり、もう 1 つの解を求めたりできる。また、 $p$ が $2 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ の解のとき $2 p^{2} = 6 p - 1$ を使って $2 p^{2} - 4 p$ のような式の値を求められる

前提

因数分解による 2 次方程式の解き方（中学数学方程式）
2 次方程式の解の公式（中学数学方程式）
解から連立方程式の係数を求める（中学数学方程式）

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算数中学高校大学大学院

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解から 1 次方程式の係数を求める（中学数学方程式）
解から連立方程式の係数を求める（中学数学方程式）

説明

2 次方程式の解が 1 つわかっているとき、その解を方程式に代入して、まだわからない係数（ $a$ など）を求め、さらにもう 1 つの解を求められるようになります。また、ある数 $p$ が 2 次方程式の解であることを使って、 $p$ を具体的に求めなくても $2 p^{2} - 6 p + 5$ や $2 p^{2} - 4 p$ のような式の値を求められるようになります。入試でよく出る「解の 1 つが ○ のとき」という問題や、解が根号をふくんで代入が大変なときの式の値の問題で使います。

なぜそうしてよいのか

「 $x = 3$ が方程式の解である」とは、「 $x$ に 3 を代入すると、左辺と右辺が等しくなる」という意味です。これは 1 次方程式や連立方程式のときと同じです。だから、係数に $a$ のような文字がふくまれていても、解を代入すれば等式が成り立ち、それが $a$ についての方程式になるので、 $a$ が求められます。 $a$ が決まれば方程式が完全にわかるので、それを解けばもう 1 つの解が求められます。

式の値を求めるときも同じ考え方です。 $p$ が $2 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ の解なら、代入して $2 p^{2} - 6 p + 1 = 0$ が成り立ちます。これを移項すると $2 p^{2} - 6 p = - 1$ や $2 p^{2} = 6 p - 1$ のような形になります。 $p$ そのものは $\frac{3 \pm 7}{2}$ のように根号をふくむので、そのまま代入すると計算が大変ですが、求めたい式の中に $2 p^{2} - 6 p$ のかたまりをつくって $- 1$ に置きかえれば、計算がとても簡単になります。たとえば
$2 p^{2} - 6 p + 5 = (2 p^{2} - 6 p) + 5 = - 1 + 5 = 4$
です。また、 $2 p^{2} - 6 p = - 1$ の両辺を 2 でわると $p^{2} - 3 p = - \frac{1}{2}$ なので、 $p^{2} - 3 p$ の値は $- \frac{1}{2}$ です。これらは、 $p$ が 2 つの解のどちらであっても同じ値になります。

いっぽう、 $2 p^{2} - 4 p$ のように、ちょうど $2 p^{2} - 6 p$ のかたまりがつくれない式では、 $2 p^{2}$ を $6 p - 1$ に置きかえると $2 p^{2} - 4 p = (6 p - 1) - 4 p = 2 p - 1$ となり、 $p$ が残ります。このときは、式を簡単にしてから $p$ の値を代入します。 $p = \frac{3 + 7}{2}$ なら $2 p - 1 = 3 + 7 - 1 = 2 + 7$ 、 $p = \frac{3 - 7}{2}$ なら $2 p - 1 = 2 - 7$ です。つまり、この式は $p$ がどちらの解かによって 2 つの値をとるので、問題で「大きいほうの解を $p$ とする」のように $p$ が 1 つに決まっているときに値が 1 つに決まります。

手順

わかっている解を方程式の $x$ に代入する（例: $x = 3$ を代入）
代入してできた式を、わからない係数（ $a$ など）についての方程式として解く
求めた係数をもとの方程式にもどし、因数分解や解の公式で解いて、もう 1 つの解を求める
式の値を求めるときは、まず代入してできた等式を移項して $2 p^{2} - 6 p = - 1$ のような形にし、求めたい式の中にそのかたまり（ $2 p^{2} - 6 p$ など）をつくる（例: $2 p^{2} - 6 p + 5 = (2 p^{2} - 6 p) + 5$ ）
つくったかたまりを値に置きかえて計算する（例: $(2 p^{2} - 6 p) + 5 = - 1 + 5 = 4$ ）。 $p$ が残るときは、式を簡単にしてから $p$ の値を代入する

例題

$x$ についての 2 次方程式 $x^{2} + a x - 12 = 0$ の解の 1 つが $3$ であるとき、 $a$ の値と、もう 1 つの解を順に求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $x = 3$ を代入すると、 $3^{2} + a \times 3 - 12 = 0$ です。

【手順 2】整理すると $9 + 3 a - 12 = 0$ 、 $3 a - 3 = 0$ 、 $3 a = 3$ なので $a = 1$ です。

【手順 3】 $a = 1$ をもとの方程式にもどすと $x^{2} + x - 12 = 0$ です。左辺を因数分解すると $(x + 4) (x - 3) = 0$ なので、 $x = - 4, 3$ です。 $3$ はわかっている解なので、もう 1 つの解は $- 4$ です。

答え: $a = 1$ 、もう 1 つの解は $- 4$

答え: $(1, - 4)$

よくある誤り

代入するときの符号やかっこをまちがえる誤り（ $x = - 2$ を $x^{2}$ に代入して $- 2^{2} = - 4$ とする）。正しくは $(- 2)^{2} = 4$
もう 1 つの解を答えるのに、わかっている解をそのまま答えてしまう誤り（ $x^{2} + x - 12 = 0$ のもう 1 つの解を $3$ とする）。正しくは解 $- 4, 3$ のうち、与えられた $3$ ではない $- 4$
式の値の問題で、等式を移項するときに符号をまちがえる誤り（ $2 p^{2} - 6 p + 1 = 0$ から $2 p^{2} - 6 p = 1$ とし、 $2 p^{2} - 6 p + 5 = 6$ とする）。正しくは $2 p^{2} - 6 p = - 1$ なので $2 p^{2} - 6 p + 5 = 4$
置きかえるかたまりの係数を合わせずに使う誤り（ $2 p^{2} - 6 p = - 1$ から $p^{2} - 3 p = - 1$ とする）。正しくは両辺を 2 でわって $p^{2} - 3 p = - \frac{1}{2}$ 。また、 $2 p^{2} - 4 p$ のように $p$ が残る式を 1 つの値だと思いこむ誤りにも注意する。正しくは $2 p^{2} - 4 p = 2 p - 1$ で、 $p = \frac{3 + 7}{2}$ なら $2 + 7$ 、 $p = \frac{3 - 7}{2}$ なら $2 - 7$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ についての 2 次方程式 $x^{2} + a x - 12 = 0$ の解の 1 つが $x = 2$ であるとき、定数 $a$ の値を求めなさい。

2 次方程式の解の代入（係数の決定・式の値）

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題