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方程式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学方程式

2 次方程式 $(x + 2) (x - 3) = 2 x - 1$ を解け。

この問題で使うもの

2 次方程式の解の公式（説明と入口の問題）
乗法公式による展開（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず左辺を展開し、すべての項を左辺に移して $a x^{2} + b x + c = 0$ の形に整理しましょう。

ヒント 2

整理すると $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ になります。かけて $- 5$ 、たして $- 3$ になる整数の組はないので、解の公式を使いましょう。

ヒント 3

解の公式に $a = 1, b = - 3, c = - 5$ を代入すると、根号の中は $(- 3)^{2} - 4 \times 1 \times (- 5)$ になります。

答えと解説

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{\frac{3 + 29}{2}, \frac{3 - 29}{2}}

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解説を読む

左辺を展開すると
$x^{2} - x - 6 = 2 x - 1$
右辺を移項して整理すると
$x^{2} - 3 x - 5 = 0$
これは左辺を因数分解できないので、解の公式を使う。 $a = 1, b = - 3, c = - 5$ より
$x = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \times 1 \times ( - 5 )}{2 \times 1} = \frac{3 \pm 9 + 20}{2} = \frac{3 \pm 29}{2}$

よって $x = \frac{3 \pm 29}{2}$ 。

別解

左辺を展開すると $(x + 2) (x - 3) = x^{2} - x - 6$ です。方程式は $x^{2} - x - 6 = 2 x - 1$ 。移項して整理すると $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 。

これは因数分解できないので、解の公式を使います。 $x = \frac{3 \pm 9 + 20}{2} = \frac{3 \pm 29}{2}$ 。

検算: $x = \frac{3 + 29}{2}$ のとき $x^{2} = 3 x + 5$ が成り立つ（解の公式の導出より）ので、 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ となり確かに解です。 $x = \frac{3 - 29}{2}$ も同様です。数値では $29 ≒ 5.385$ より $x ≒ 4.193, - 1.193$ で、 $x = 4.193$ のとき左辺 $(6.193) (1.193) ≒ 7.39$ 、右辺 $2 \times 4.193 - 1 = 7.39$ と一致します。

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