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方程式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学方程式

$x$ についての 2 次方程式 $x (2 x + 1) = 3 (x + 1) - 2$ を解け。解をすべて求めよ。

この問題で使うもの

2 次方程式の解の公式（説明と入口の問題）
平方根の意味と根号の簡単化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（16 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず両辺を展開し、 $a x^{2} + b x + c = 0$ の形に整理しよう。

ヒント 2

整理すると $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ になる。因数分解できないときは解の公式 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ を使う。

ヒント 3

解の公式に代入すると $x = \frac{2 \pm 12}{4}$ となる。根号の中をできるだけ小さくし、約分しよう。

答えと解説

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{\frac{1 + 3}{2}, \frac{1 - 3}{2}}

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解説を読む

両辺を展開すると
$2 x^{2} + x = 3 x + 3 - 2$
$2 x^{2} + x = 3 x + 1$
移項して整理すると
$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$
これは整数の範囲で因数分解できないので、解の公式を使う。 $a = 2, b = - 2, c = - 1$ として
$x = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \times 2 \times ( - 1 )}{2 \times 2} = \frac{2 \pm 4 + 8}{4} = \frac{2 \pm 12}{4}$
$12 = 23$ なので
$x = \frac{2 \pm 2 3}{4} = \frac{1 \pm 3}{2}$
よって、解は $x = \frac{1 + 3}{2}, \frac{1 - 3}{2}$ である。

別解

左辺 $2 x^{2} + x$ 、右辺 $3 x + 3 - 2 = 3 x + 1$ 。移項して $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 。解の公式より $x = \frac{2 \pm 4 + 8}{4} = \frac{2 \pm 2 3}{4} = \frac{1 \pm 3}{2}$ 。検算: $x = \frac{1 + 3}{2}$ のとき $x^{2} = \frac{4 + 2 3}{4} = \frac{2 + 3}{2}$ 、 $2 x^{2} - 2 x - 1 = 2 + 3 - (1 + 3) - 1 = 0$ 。

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