2 次方程式の文章題

整数・図形の辺の長さ（箱の容積を含む）・値上げと売り上げなどの場面で 2 次方程式を立てて解き、問題の条件に合わない解を除いて答えを求められる

前提

因数分解による 2 次方程式の解き方（中学数学方程式）
2 次方程式の解の公式（中学数学方程式）
1 次方程式の文章題（中学数学方程式）
直方体・立方体の体積（算数立体図形）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）

この技能までの道筋（28 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
因数分解による 2 次方程式の解き方（中学数学方程式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
平方根の考えを使った 2 次方程式の解き方（中学数学方程式）
2 次方程式の解の公式（中学数学方程式）
差集め算（算数いろいろな文章題）
過不足算（算数いろいろな文章題）
年齢算（差が変わらないことを使う）（算数いろいろな文章題）
速さ・時間・道のりの関係（算数速さ）
割合の基本（もとにする量・くらべる量）（算数割合と比）
百分率と歩合（算数割合と比）
1 次方程式の文章題（中学数学方程式）
直方体・立方体の体積（算数立体図形）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）

説明

整数の問題、長方形の辺の長さや箱の容積の問題、値上げと売り上げの問題など、数量の関係が「かけ算の 2 回分」になる場面で、2 次方程式を立てて解けるようになります。2 次方程式はふつう解が 2 つ出ますが、長さが負になる・個数が整数にならないなど、問題の条件に合わない解があります。そうした解を除いて、正しい答えを 1 つに決めるところまでがこの技能です。

なぜそうしてよいのか

文章題の進め方は 1 次方程式のときと同じで、「求めるものを $x$ とおく → 等しい関係を式にする → 解く → 問題に合うか確かめる」です。ちがうのは、長さ×長さ（面積）や、値段×個数（売り上げ）、ある数×次の数（整数の積）のように、 $x$ をふくむ量どうしをかけると $x^{2}$ が出てくることです。そのため、できる方程式は 2 次方程式になり、因数分解や解の公式で解きます。

2 次方程式は、式の上では 2 つの解をもつことが多いですが、式は「長さは正」「人数は自然数」といった現実の条件までは知りません。たとえば辺の長さを $x$ cm としたのに $x = - 8$ が出てきても、長さが $- 8$ cm の長方形はないので答えにはなりません。だから最後に、「 $x$ のとりうる範囲（長さなら正、箱の問題なら切り取ったあとの辺も正、など）」と照らし合わせて、合わない解を除きます。

手順

求める数量を $x$ とおき、ほかの数量を $x$ を使った式で表す。 $x$ がとりうる範囲（例: 長さなら $x > 0$ 、自然数なら 1 以上の整数）も書いておく
文章中の等しい関係（面積、容積、積、売り上げなど）を $x$ の式で表し、方程式を立てる
展開・移項して $a x^{2} + b x + c = 0$ の形に整理し、因数分解または解の公式で解く
出てきた解のうち、手順 1 の範囲に合わないもの（負の長さ、整数でない個数など）を除く
残った解から、問われている数量を単位をつけて答える

例題

横の長さがたての長さより 3 cm 長い長方形があり、その面積は 40 cm² である。この長方形のたての長さは何 cm か求めよ。

例題の解答

手順 1: たての長さを $x$ cm とすると、横の長さは $(x + 3)$ cm。長さなので $x > 0$ 。

手順 2: 面積はたて×横なので $x (x + 3) = 40$ 。

手順 3: 展開して移項すると $x^{2} + 3 x - 40 = 0$ 。たして $3$ 、かけて $- 40$ になる 2 数は $8$ と $- 5$ なので $(x + 8) (x - 5) = 0$ 、 $x = - 8, 5$ 。

手順 4: $x > 0$ なので $x = - 8$ は条件に合わない。 $x = 5$ は合う（横は 8 cm、面積は $5 \times 8 = 40$ cm² で正しい）。

手順 5: たての長さは 5 cm。

答え: $5$

よくある誤り

2 つの解をどちらも答えてしまう誤り。上の例で「 $- 8$ cm と 5 cm」とするのは誤り。長さは正なので、正しくは $x = - 8$ を除いて 5 cm
箱の問題で、切り取ったあとの辺の長さの条件を確かめない誤り。たて・横 20 cm の正方形の四すみから 1 辺 $x$ cm の正方形を切り取って箱を作るとき、底面の 1 辺は $20 - 2 x$ cm なので $x > 0$ だけでなく $20 - 2 x > 0$ 、つまり $0 < x < 10$ でなければならない。この範囲の外の解は除く
値上げの問題で、売り上げを値段と個数の和で表してしまう誤り。1 個 100 円で 200 個売れる品物を $10 x$ 円値上げすると $5 x$ 個減るとき、売り上げを $(100 + 10 x) + (200 - 5 x)$ とするのは誤り。正しくは値段×個数で $(100 + 10 x) (200 - 5 x)$ 円
右辺を 0 にしないまま解こうとする誤り。 $x (x + 3) = 40$ から「 $x = 40$ または $x + 3 = 40$ 」とするのは誤り。正しくは $x^{2} + 3 x - 40 = 0$ と整理してから因数分解する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
横の長さがたての長さより $3 cm$ 長い長方形があります。この長方形の面積は $40 cm^{2}$ です。この長方形のたての長さは何 cm ですか。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

動く点と面積の 2 次方程式（中学数学方程式）