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方程式の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学数学方程式

原価が $900$ 円の品物に、原価の $x %$ の利益を見込んで定価をつけた。しかし売れなかったので、定価の $x %$ 引きで売ったところ、原価より $36$ 円安い値段で売れた。 $x$ の値を求めよ。ただし、 $x$ は正の数とする。

この問題で使うもの

2 次方程式の文章題（説明と入口の問題）
平方根の考えを使った 2 次方程式の解き方（説明と入口の問題）
乗法公式による展開（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

定価と売り値を、それぞれ $x$ を使った式で表そう。 $x %$ 増しは $(1 + \frac{x}{100})$ 倍、 $x %$ 引きは $(1 - \frac{x}{100})$ 倍である。

ヒント 2

売り値は $900 (1 + \frac{x}{100}) (1 - \frac{x}{100})$ 円で、これが $864$ 円に等しい。

ヒント 3

乗法公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ を使って展開すると、 $x^{2}$ の値が求められる。

答えと解説

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20

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解説を読む

定価は原価の $x %$ 増しなので
$900 (1 + \frac{x}{100}) 円$
その $x %$ 引きの売り値は
$900 (1 + \frac{x}{100}) (1 - \frac{x}{100}) 円$
これが原価より $36$ 円安い $900 - 36 = 864$ (円) なので
$900 (1 + \frac{x}{100}) (1 - \frac{x}{100}) = 864$
左辺は乗法公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ を使って
$900 (1 - \frac{x ^{2}}{10000}) = 864$
$900 - \frac{9 x ^{2}}{100} = 864$
$\frac{9 x ^{2}}{100} = 36$
$x^{2} = 400$
$x = \pm 20$
$x$ は正の数なので $x = 20$ である。

確かめ: 定価は $900 \times 1.2 = 1080$ (円)、その $20%$ 引きは $1080 \times 0.8 = 864$ (円) で、原価より $36$ 円安い。

よって $x = 20$ である。

別解

定価は $900 (1 + \frac{x}{100})$ 円。売値は定価の $x %$ 引きなので $900 (1 + \frac{x}{100}) (1 - \frac{x}{100}) = 900 (1 - \frac{x ^{2}}{10000})$ 。これが $900 - 36 = 864$ に等しいので $1 - \frac{x ^{2}}{10000} = 0.96$ 、 $x^{2} = 400$ 。 $x > 0$ より $x = 20$ 。検算: 定価 $1080$ 円、その2割引は $864$ 円で、原価より $36$ 円安い。

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