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方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル中学数学方程式

横の長さがたての長さより $3 cm$ 長い長方形があります。この長方形の面積は $40 cm^{2}$ です。この長方形のたての長さは何 cm ですか。

この問題で使うもの

2 次方程式の文章題（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

2 次方程式の文章題です。たての長さを $x cm$ として、横の長さを $x$ を使って表し、面積の式を立てましょう。

ヒント 2

横の長さは $(x + 3) cm$ なので、 $x (x + 3) = 40$ という 2 次方程式ができます。

ヒント 3

整理すると $x^{2} + 3 x - 40 = 0$ 、因数分解すると $(x + 8) (x - 5) = 0$ です。長さは正の数であることに注意して、解を選びましょう。

答えと解説

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5

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解説を読む

たての長さを $x cm$ とすると、横の長さは $(x + 3) cm$ です。長方形の面積はたて × 横なので
$x (x + 3) = 40$

左辺を展開して整理すると
$x^{2} + 3 x = 40$
$x^{2} + 3 x - 40 = 0$

かけて $- 40$ 、たして $3$ になる 2 つの数は $8$ と $- 5$ なので
$(x + 8) (x - 5) = 0$
$x = - 8, 5$

長さは正の数なので $x > 0$ です。 $x = - 8$ は問題に合いません。 $x = 5$ は問題に合います。

確かめ: たて $5 cm$ 、横 $8 cm$ で、面積は $5 \times 8 = 40 (cm^{2})$ です。

答えは $5 cm$ です。

別解

たての長さを $x$ cm とすると、横の長さは $x + 3$ cm なので $x (x + 3) = 40$ です。展開して $x^{2} + 3 x - 40 = 0$ 、因数分解して $(x + 8) (x - 5) = 0$ より $x = - 8, 5$ です。長さは正なので $x = 5$ です。検算：たて 5 cm、横 8 cm で、面積は $5 \times 8 = 40$ cm $^{2}$ 、横はたてより 3 cm 長く、条件に合います。

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