動く点と面積の 2 次方程式

図形の辺上を一定の速さで動く点について、 $t$ 秒後の長さを $t$ の式で表し、三角形の面積を $t$ の式にして、面積が与えられた値になる時刻を $t$ の変域に注意して求められる

前提

2 次方程式の文章題（中学数学方程式）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）

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算数中学高校大学大学院

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2 次方程式の文章題（中学数学方程式）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）

説明

三角形や四角形の辺の上を、点が一定の速さで動いていく問題で、「出発してから何秒後に面積がちょうど○ cm² になるか」を求められるようになります。動いた距離は速さ×時間で表せるので、 $t$ 秒後の辺の長さを $t$ の式にし、面積の公式に入れると 2 次方程式ができます。最後に、点がその辺の上にいる時間の範囲（ $t$ の変域）に入っている解だけを答えます。

なぜそうしてよいのか

点 P が秒速 $v$ cm で動くと、 $t$ 秒間に進む道のりは $v t$ cm です。だから、出発点からの長さは $v t$ cm、反対側の頂点までの残りの長さは（辺の長さ） $- v t$ cm のように、 $t$ の式で表せます。

三角形の面積は底辺×高さ÷2 なので、底辺も高さも $t$ をふくむ式なら、かけ算で $t^{2}$ が出てきて、面積は $t$ の 2 次式になります。「面積が○ cm² になる」という条件から、 $t$ の 2 次方程式を立てて解けばよいわけです。

ただし、式が正しいのは、点がその辺の上を動いている間だけです。たとえば長さ 12 cm の辺を秒速 3 cm で進む点は、4 秒で端に着きます。それより後は別の辺に移ったり止まったりして、長さの式が変わってしまいます。そこで、はじめに「 $t$ はいくつからいくつまでか」（ $t$ の変域）を決めておき、2 次方程式の解のうち、その範囲に入るものだけを答えにします。

手順

それぞれの点が、どの辺の上を何秒間動くかを調べ、考える $t$ の変域を決める（辺の長さ÷速さで端に着く時間がわかる）
$t$ 秒後に点が進んだ長さ（速さ× $t$ ）を使って、面積に必要な底辺と高さを $t$ の式で表す
面積の公式（底辺×高さ÷2 など）に入れ、「面積＝与えられた値」として方程式を立てる
展開・移項して整理し、因数分解または解の公式で $t$ を求める
手順 1 の変域に入らない解を除き、残った $t$ を答える

例題

$∠ B = 9 0^{\circ}$ 、 $A B = 8$ cm、 $B C = 12$ cm の直角三角形 $A B C$ がある。点 P は A を出発して辺 AB 上を B に向かって秒速 1 cm で動き、点 Q は P と同時に B を出発して辺 BC 上を C に向かって秒速 3 cm で動く。点 Q が C に着くまでの間で、三角形 $P B Q$ の面積が 18 cm² になるのは、出発してから何秒後か求めよ。

例題の解答

手順 1: Q が C に着くのは $12 \div 3 = 4$ 秒後。P が B に着くのは $8 \div 1 = 8$ 秒後なので、Q が C に着くまで P は辺 AB 上にある。よって $t$ 秒後の $t$ の変域は $0 ≦ t ≦ 4$ 。

手順 2: $t$ 秒後、 $A P = t$ cm なので $P B = (8 - t)$ cm、 $B Q = 3 t$ cm。 $∠ B = 9 0^{\circ}$ なので、 $B Q$ を底辺とすると高さは $P B$ 。

手順 3: 面積は $\frac{1}{2} \times 3 t \times (8 - t) = 18$ 。

手順 4: 両辺を 2 倍して $3 t (8 - t) = 36$ 、両辺を 3 でわって $t (8 - t) = 12$ 。展開して移項すると $t^{2} - 8 t + 12 = 0$ 。 $(t - 2) (t - 6) = 0$ より $t = 2, 6$ 。

手順 5: $0 ≦ t ≦ 4$ なので $t = 6$ は除く。 $t = 2$ のとき $P B = 6$ 、 $B Q = 6$ で面積は $6 \times 6 \div 2 = 18$ cm² となり正しい。

よって 2 秒後。

答え: $2$

よくある誤り

$t$ の変域を確かめずに解をすべて答える誤り。上の例で「2 秒後と 6 秒後」とするのは誤り。6 秒後には Q はすでに C をこえる時間なので、 $B Q = 3 \times 6 = 18$ cm は辺 BC（12 cm）より長くなり、式が成り立たない。正しくは 2 秒後だけ
進んだ長さと残りの長さを取り違える誤り。A から B に向かう P について $P B = t$ とするのは誤り。 $t$ は A から進んだ長さ $A P$ なので、正しくは $P B = 8 - t$
面積の式で $\div 2$ を忘れる誤り。 $3 t (8 - t) = 18$ とするのは誤り。三角形なので正しくは $\frac{1}{2} \times 3 t \times (8 - t) = 18$
速さをかけ忘れる誤り。秒速 3 cm で動く Q について $B Q = t$ とするのは誤り。正しくは $B Q = 3 t$ cm

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$∠ B = 9 0^{\circ}$ 、 $A B = 6 cm$ 、 $B C = 8 cm$ の直角三角形 $A B C$ があります。点 $P$ は $A$ を出発して辺 $A B$ 上を $B$ に向かって毎秒 $1 cm$ の速さで動き、点 $Q$ は $P$ と同時に $B$ を出発して辺 $B C$ 上を $C$ に向かって毎秒 $2 cm$ の速さで動きます。2 点が出発してから $t$ 秒後（ $0 < t ≦ 4$ ）の $△ P B Q$ の面積が $5 cm^{2}$ になるとき、 $t$ の値を求めなさい。

動く点と面積の 2 次方程式

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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