面積の条件を満たす点（等積変形）

$y$ 軸上などに、 $△ ABC$ の面積が $△ OAB$ と等しくなる点や、何倍になる点の座標を、平行線や $y$ 軸上の線分の長さを使って求められる

前提

放物線と直線でつくる三角形の面積（中学数学関数）

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算数中学高校大学大学院

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放物線と直線でつくる三角形の面積（中学数学関数）

説明

放物線と直線の交点 A、B と原点 O でできる三角形 OAB があるとき、 $y$ 軸上などに点 P をとって、三角形 PAB の面積が三角形 OAB と等しくなる点や、その 2 倍・3 倍になる点の座標を求められるようになります。形はちがっても面積が等しい三角形を作る考え方を「等積変形」といいます。底辺を共通にして高さを比べる方法と、 $y$ 軸上の線分の長さを比べる方法の 2 通りで考えられます。

なぜそうしてよいのか

底辺 AB が共通な 2 つの三角形 OAB と PAB は、高さ（O、P から直線 AB までの距離）が等しければ面積も等しくなります。直線 AB に平行な直線上の点は、どこでも直線 AB からの距離が同じです。だから、O を通り AB に平行な直線（傾きが AB と同じで原点を通る直線）の上に P をとれば、 $△ P A B = △ O A B$ になります。直線 AB の反対側にも、AB から同じ距離だけはなれた平行線があり、その上の点でも面積は等しくなります。

$y$ 軸上の点 P なら、もっと簡単に計算できます。直線 AB と $y$ 軸の交点を D とします。A が $y$ 軸の左、B が右にあるとき、 $△ O A B$ は $y$ 軸で 2 つに分かれ、 $△ O A B = \frac{1}{2} \times O D \times (A と B の x 座標の差)$ でした。 $y$ 軸上の P についても、同じように $y$ 軸で分けると $△ P A B = \frac{1}{2} \times P D \times (A と B の x 座標の差)$ です（P が直線 AB の上側でも下側でも成り立ちます）。

2 つの式は「 $x$ 座標の差」が共通なので、面積の比は $P D : O D$ に等しくなります。つまり、 $△ P A B = △ O A B$ にしたければ $P D = O D$ 、 $k$ 倍にしたければ $P D = k \times O D$ となるように、 $y$ 軸上で D から上または下に P をとればよいのです。

手順

放物線と直線の交点 A、B の座標を求め、直線 AB と $y$ 軸の交点 D の座標を求める
$O D$ の長さ（D の $y$ 座標の大きさ）を求める
$△ P A B$ が $△ O A B$ の $k$ 倍（等しいなら $k = 1$ ）なら、 $P D = k \times O D$ とする
D から $y$ 軸に沿って上または下に $P D$ だけ進んだ点を P とし、問題の条件（P は O と異なる、 $y$ 座標が D より大きい、など）に合う方を選ぶ
$y$ 軸上以外の点を求めるときは、O を通り AB に平行な直線（傾きは AB と同じ）や、D から上下に $O D$ ずらした点を通る AB に平行な直線を考え、その直線と放物線などとの交点を求める

例題

放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = x + 2$ の 2 つの交点を A、B とし（A の $x$ 座標は B の $x$ 座標より小さい）、原点を O とする。 $y$ 軸上に、 $y$ 座標が 2 より大きい点 P をとり、 $△ P A B$ の面積が $△ O A B$ の面積と等しくなるようにする。点 P の座標を求めよ。

例題の解答

手順 1: $x^{2} = x + 2$ より $x^{2} - x - 2 = 0$ 、 $(x - 2) (x + 1) = 0$ 、 $x = - 1, 2$ 。A $(- 1, 1)$ 、B $(2, 4)$ 。直線 $y = x + 2$ と $y$ 軸の交点は D $(0, 2)$ 。

手順 2: $O D = 2$ 。（ $△ O A B = \frac{1}{2} \times 2 \times {2 - (- 1)} = 3$ 。）

手順 3: 面積が等しいので $k = 1$ 、 $P D = O D = 2$ 。

手順 4: D $(0, 2)$ から上下に 2 進んだ点は $(0, 4)$ と $(0, 0)$ 。 $(0, 0)$ は O そのもので、 $y$ 座標が 2 より大きいという条件に合うのは $(0, 4)$ 。

確かめ: $△ P A B = \frac{1}{2} \times P D \times 3 = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$ で、 $△ O A B$ と等しい。

よって P $(0, 4)$ 。

答え: $(0, 4)$

よくある誤り

$P D$ ではなく $O P$ を $O D$ と等しくしてしまう誤り。上の例で $O P = 2$ として P $(0, 2)$ とするのは誤り。それは D そのもので、三角形ができない。面積は D からの距離 $P D$ で決まるので、正しくは $P D = 2$ より P $(0, 4)$
何倍の条件で、O からの長さを $k$ 倍にする誤り。 $△ P A B = 2 \times △ O A B$ の P を $O P = 2 \times O D = 4$ として $(0, 4)$ とするのは誤り。正しくは $P D = 2 \times O D = 4$ なので、D $(0, 2)$ から上に 4 進んだ $(0, 6)$ （下側なら $(0, - 2)$ ）
平行線を引くとき、傾きを AB と変えてしまう誤り。O を通り AB に平行な直線を $y = - x$ などとするのは誤り。平行な直線は傾きが等しいので、AB が $y = x + 2$ なら正しくは $y = x$
条件に合う点が 2 つあるのに一方を見落とす、または条件を無視して両方答える誤り。 $P D = O D$ を満たす $y$ 軸上の点は D の上と下に 1 つずつあるので、両方を出したうえで、問題の条件（ここでは $y$ 座標が 2 より大きい）に合う方を選ぶ

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に原点 $O$ と 2 点 $A (- 2, 2)$ 、 $B (4, 8)$ があります。 $y$ 軸上に、 $y$ 座標が $4$ より大きい点 $P$ をとり、 $△ P A B$ の面積が $△ O A B$ の面積と等しくなるようにします。点 $P$ の座標を求めなさい。

面積の条件を満たす点（等積変形）

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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