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関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル中学数学関数

座標平面上に原点 $O$ と 2 点 $A (- 2, 2)$ 、 $B (4, 8)$ があります。 $y$ 軸上に、 $y$ 座標が $4$ より大きい点 $P$ をとり、 $△ P A B$ の面積が $△ O A B$ の面積と等しくなるようにします。点 $P$ の座標を求めなさい。

この問題で使うもの

面積の条件を満たす点（等積変形）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（27 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

面積の条件を満たす点（等積変形）の問題です。直線 $A B$ と $y$ 軸の交点 $D$ を求め、三角形を $y$ 軸で分けて考えましょう。

ヒント 2

直線 $A B$ は $y = x + 4$ で、 $D (0, 4)$ です。 $△ O A B$ も $△ P A B$ も、 $y$ 軸上の辺（ $O D$ または $D P$ ）を底辺とし、高さの和は $2 + 4$ で共通です。

ヒント 3

面積が等しくなるのは $D P = O D$ のときです。 $O D = 4$ です。

答えと解説

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(0, 8)

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解説を読む

まず直線 $A B$ の式を求めます。傾きは
$\frac{8 - 2}{4 - ( - 2 )} = \frac{6}{6} = 1$
なので $y = x + b$ とおき、 $A (- 2, 2)$ を代入すると $2 = - 2 + b$ より $b = 4$ 。直線 $A B$ は $y = x + 4$ で、 $y$ 軸との交点は $D (0, 4)$ です。

$△ O A B$ を $y$ 軸で 2 つに分けると、どちらも底辺は $O D = 4$ で、高さは $A$ 、 $B$ から $y$ 軸までの距離 $2$ と $4$ です。よって
$△ O A B = O D \times (2 + 4) \div 2$

$P$ は $y$ 軸上で $D$ より上にあるので、 $△ P A B$ も同じように $y$ 軸で分けると
$△ P A B = D P \times (2 + 4) \div 2$

高さの和 $2 + 4$ が共通なので、面積が等しくなるのは $D P = O D = 4$ のときです。 $D$ の $y$ 座標は $4$ なので、 $P$ の $y$ 座標は
$4 + 4 = 8$

確かめ: $△ O A B = 4 \times 6 \div 2 = 12$ 、 $△ P A B = 4 \times 6 \div 2 = 12$ で等しくなります。

答えは $P (0, 8)$ です。

別解

直線 $A B$ の傾きは $\frac{8 - 2}{4 - ( - 2 )} = 1$ 、 $y = x + b$ に $A$ を代入して $2 = - 2 + b$ 、 $b = 4$ 。よって $A B : y = x + 4$ 。底辺 $A B$ が共通なので、面積が等しいには $P$ と $A B$ の距離が $O$ と $A B$ の距離に等しければよい。 $O$ を通り $A B$ に平行な直線は $y = x$ 。 $A B$ について反対側で同じ距離の平行線は $y = x + 8$ （ $y = x$ と $y = x + 4$ の間隔だけ $A B$ の反対側）。 $y$ 軸との交点は $P (0, 8)$ で、 $y$ 座標が $4$ より大きい条件を満たす。確かめ: 直線 $y = x + 4$ と $y$ 軸の交点を $C (0, 4)$ とすると $△ O A B$ の面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times (2 + 4) = 12$ 、 $△ P A B = \frac{1}{2} \times (8 - 4) \times 6 = 12$ で等しい。

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