関数の問題

点 $\mathrm{A}(2,6)$ を通るので $6=\frac{a}{2}$ より $a=12$。よって反比例の式は $y=\frac{12}{x}$ である。

$x=6$ のとき $y=\frac{12}{6}=2$ なので $\mathrm{B}(6,2)$、$\mathrm{C}(6,0)$ である。

四角形の面積

四角形 $\mathrm{OCBA}$ を対角線 $\mathrm{OB}$ で $△\mathrm{OCB}$ と $△\mathrm{OBA}$ に分ける。

$△\mathrm{OCB}=\frac{1}{2}\times 6\times 2=6$

直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは $\frac{2-6}{6-2}=-1$ なので、式は $y=-x+8$ である。この直線と $x$ 軸の交点を $\mathrm{D}$ とすると $\mathrm{D}(8,0)$。

$△\mathrm{OBA}=△\mathrm{ODA}-△\mathrm{ODB}=\frac{1}{2}\times 8\times 6-\frac{1}{2}\times 8\times 2=24-8=16$

よって四角形 $\mathrm{OCBA}$ の面積は $6+16=22$ で、その半分は $11$ である。

直線が通る位置

$△\mathrm{OCB}=6<11$ なので、直線 $y=mx$ は辺 $\mathrm{AB}$ と交わる。その交点を $\mathrm{P}$ とすると、$\mathrm{O}$ 側で $\mathrm{C}$ を含む部分（四角形 $\mathrm{OCBP}$）の面積が $11$ になればよいので

$$△\mathrm{OBP}=11-6=5$$

$\mathrm{P}$ は直線 $y=-x+8$ 上にあるので $\mathrm{P}(t,-t+8)$（$2<t<6$）とおくと

$$△\mathrm{OBP}=△\mathrm{ODP}-△\mathrm{ODB}=\frac{1}{2}\times 8\times (-t+8)-8=24-4t$$

これが $5$ に等しいので $24-4t=5$、$t=\frac{19}{4}$。このとき $y=-\frac{19}{4}+8=\frac{13}{4}$ で、$\mathrm{P}\left(\frac{19}{4},\frac{13}{4}\right)$ である。

直線 $y=mx$ は $\mathrm{P}$ を通るので

$$m=\frac{13}{4}÷\frac{19}{4}=\frac{13}{19}$$

A$(2,6)$ を通るので $a=2\times 6=12$、$y=\frac{12}{x}$。$x=6$ のとき $y=2$ なので B$(6,2)$、C$(6,0)$。
四角形 OCBA の面積は、△OCB $=\frac{1}{2}\times 6\times 2=6$ と △OBA の和。△OBA は、A$(2,6)$、B$(6,2)$ を通る直線 $y=-x+8$ と y 軸の交点 D$(0,8)$ を使うと、△OAD と △OBD の差で $\frac{1}{2}\times 8\times 6-\frac{1}{2}\times 8\times 2=24-8=16$。よって四角形の面積は $6+16=22$、半分は $11$。
△OCB の面積 $6$ は $11$ より小さいので、直線 $y=mx$ は辺 BA と交わる。その交点を P とすると △OPA の面積が $11$ になればよい。△OAB $=16$ なので AP:AB $=11:16$。
A から B へ $x$ 座標は $+4$、$y$ 座標は $-4$ なので P $=\left(2+4\times \frac{11}{16},6-4\times \frac{11}{16}\right)=\left(\frac{19}{4},\frac{13}{4}\right)$。
よって $m=\frac{13}{4}÷\frac{19}{4}=\frac{13}{19}$。
検算: P は $y=-x+8$ 上（$\frac{19}{4}+\frac{13}{4}=8$）。△OPA $=\frac{1}{2}\left|2\cdot \frac{13}{4}-6\cdot \frac{19}{4}\right|=\frac{1}{2}\cdot 22=11$ で面積の半分と一致。