関数の問題

点 $\mathrm{A}$ を $y$ 軸について対称移動した点を ${\mathrm{A}}^{\prime }$、点 $\mathrm{B}$ を $x$ 軸について対称移動した点を ${\mathrm{B}}^{\prime }$ とすると
$${\mathrm{A}}^{\prime }(-2,5),{\mathrm{B}}^{\prime }(8,-1)$$
$y$ 軸は線分 ${\mathrm{AA}}^{\prime }$ の垂直二等分線なので、$y$ 軸上の点 $\mathrm{Q}$ について $\mathrm{AQ}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{Q}$。同様に $x$ 軸上の点 $\mathrm{P}$ について $\mathrm{PB}=\mathrm{P}{\mathrm{B}}^{\prime }$。よって
$$\mathrm{AQ}+\mathrm{QP}+\mathrm{PB}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{Q}+\mathrm{QP}+\mathrm{P}{\mathrm{B}}^{\prime }$$
これは ${\mathrm{A}}^{\prime }$ から ${\mathrm{B}}^{\prime }$ までの折れ線の長さなので、$\mathrm{Q}$, $\mathrm{P}$ が線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ 上にあるとき最も短くなる。

直線 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ の傾きは
$$\frac{-1-5}{8-(-2)}=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}$$
式を $y=-\frac{3}{5}x+b$ とおき、${\mathrm{A}}^{\prime }(-2,5)$ を代入すると
$$5=\frac{6}{5}+b,b=\frac{19}{5}$$
よって直線 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ の式は $y=-\frac{3}{5}x+\frac{19}{5}$ である。

$y$ 軸との交点は $\mathrm{Q}\left(0,\frac{19}{5}\right)$、$x$ 軸との交点は $0=-\frac{3}{5}x+\frac{19}{5}$ より $3x=19$、$x=\frac{19}{3}$ で、$\mathrm{P}\left(\frac{19}{3},0\right)$ である。

${\mathrm{A}}^{\prime }$ の $x$ 座標 $-2$ から ${\mathrm{B}}^{\prime }$ の $x$ 座標 $8$ の間に、$\mathrm{Q}$ の $x$ 座標 $0$、$\mathrm{P}$ の $x$ 座標 $\frac{19}{3}$ がこの順に並ぶので、${\mathrm{A}}^{\prime }$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{P}$, ${\mathrm{B}}^{\prime }$ はこの順に線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ 上にある。

よって、求める点 $\mathrm{P}$ の座標は $\left(\frac{19}{3},0\right)$ である。

点 $\mathrm{A}$ を $y$ 軸について対称移動した点を ${\mathrm{A}}^{\prime }(-2,5)$、点 $\mathrm{B}$ を $x$ 軸について対称移動した点を ${\mathrm{B}}^{\prime }(8,-1)$ とする。$\mathrm{AQ}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{Q}$、$\mathrm{PB}={\mathrm{PB}}^{\prime }$ だから、$\mathrm{AQ}+\mathrm{QP}+\mathrm{PB}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{Q}+\mathrm{QP}+{\mathrm{PB}}^{\prime }$ である。これは ${\mathrm{A}}^{\prime },\mathrm{Q},\mathrm{P},{\mathrm{B}}^{\prime }$ が一直線上にこの順に並ぶとき最小で、その値は線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ の長さになる。

直線 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ の傾きは $\frac{-1-5}{8-(-2)}=-\frac{6}{10}=-\frac{3}{5}$。点 ${\mathrm{A}}^{\prime }(-2,5)$ を通るから、直線の式は $y=-\frac{3}{5}(x+2)+5=-\frac{3}{5}x+\frac{19}{5}$。

$x$ 軸との交点 $\mathrm{P}$ は $y=0$ とおいて $-\frac{3}{5}x+\frac{19}{5}=0$、よって $x=\frac{19}{3}$。
$y$ 軸との交点 $\mathrm{Q}$ は $x=0$ とおいて $y=\frac{19}{5}$、$\mathrm{Q}\left(0,\frac{19}{5}\right)$。

確かめ: $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標 $0$、$\mathrm{P}$ の $x$ 座標 $\frac{19}{3}$ は $-2<0<\frac{19}{3}<8$ を満たすので、${\mathrm{A}}^{\prime },\mathrm{Q},\mathrm{P},{\mathrm{B}}^{\prime }$ はこの順に直線上に並ぶ。${\mathrm{B}}^{\prime }$ を代入すると $-\frac{3}{5}\cdot 8+\frac{19}{5}=-1$ で一致する。

よって $\mathrm{P}\left(\frac{19}{3},0\right)$。