図形と計量の問題

$BC=a,CA=b,AB=c$ とする。

辺の比を求める

正弦定理より $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$ であるから、
$$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8$$
となる。よって、正の数 $k$ を用いて $a=5k,b=7k,c=8k$ と表せる。

角 $B$ を求める

余弦定理より
$$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\frac{64k^2+25k^2-49k^2}{2\cdot 8k\cdot 5k}=\frac{40k^2}{80k^2}=\frac{1}{2}$$
である。$0^{\circ }<B<180^{\circ }$ より $B=60^{\circ }$ であり、$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

面積から $k$ を求める

角 $B$ をはさむ 2 辺は $a,c$ であるから、
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}\cdot 8k\cdot 5k\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}{k}^2$$
である。これが $10\sqrt{3}$ に等しいので $k^2=1$ となり、$k>0$ より $k=1$ である。

したがって $a=5,b=7,c=8$ である。

外接円の半径を求める

正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=2R$ より
$$2R=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}$$
である。よって
$$R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$$
となる。

正弦定理より $a:b:c=5:7:8$ なので、$a=5k,b=7k,c=8k$ ($k>0$) とおく。
余弦定理より $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{25+64-49}{80}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$ なので $B=60^{\circ }$、$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
面積は $\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 5k\cdot 8k\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}{k}^2$。これが $10\sqrt{3}$ に等しいので $k^2=1$、$k=1$。
よって $b=7$。正弦定理より $2R=\frac{b}{\sin B}=\frac{7}{\sqrt{3}/2}=\frac{14}{\sqrt{3}}$ なので $R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。
検算：ヘロンの公式で $s=10$、面積 $=\sqrt{10\cdot 5\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$ で一致する。また $R=\frac{abc}{4S}=\frac{5\cdot 7\cdot 8}{40\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}$ で一致する。