図形と計量の問題

三角比の相互関係
$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$
を使います。

手順1：${\cos }^2\theta$ を求める

$\sin \theta =\frac{2}{3}$ を代入すると
$${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$$
よって
$$\cos \theta =\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$$

手順2：$\cos \theta$ の符号を決める

単位円（原点を中心とする半径 $1$ の円）の上で、$x$ 軸の正の向きから角 $\theta$ だけ回った点を $\mathrm{P}(x,y)$ とすると、$\cos \theta =x$, $\sin \theta =y$ です。

$90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ のとき、点 $\mathrm{P}$ は $y$ 軸より左側にあるので $x<0$、つまり $\cos \theta <0$ です。

したがって
$$\cos \theta =-\frac{\sqrt{5}}{3}$$

$90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ のとき $\cos \theta <0$ である。${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ より ${\cos }^2\theta =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$。よって $\cos \theta =-\frac{\sqrt{5}}{3}$。検算：${\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1$ で、符号も第2象限の条件に合う。