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図形の性質の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 図形の性質

円 $O$ の周上に $3$ 点 $A$ , $B$ , $C$ がある。直線 $ℓ$ は点 $A$ で円 $O$ に接している。 $ℓ$ 上に、直線 $AB$ に関して点 $C$ と反対側に点 $T$ をとる。 $∠ BAT = 5 2^{\circ}$ のとき、 $∠ ACB$ の大きさは何度か求めよ。

O

A

B

C

T

ℓ

5 2^{\circ}

この問題で使うもの

接弦定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

接線 $ℓ$ と、接点 $A$ を通る弦 $AB$ がつくる角に注目して、接弦定理を使いましょう。

ヒント 2

接弦定理：接線と弦のつくる角 $∠ BAT$ は、その角の内部にある弧 $AB$ に対する円周角に等しくなります。

ヒント 3

点 $C$ は $∠ BAT$ の内部にある弧 $AB$ の上にないので、 $∠ ACB$ は弧 $AB$ に対する円周角です。

答えと解説

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52

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解説を読む

使う定理（接弦定理）：円の接線と、その接点を通る弦がつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい。

手順 1：接線と弦がつくる角を見つける。
接線は $ℓ$ 、接点は $A$ です。接点 $A$ を通る弦 $AB$ と接線 $ℓ$ がつくる角が $∠ BAT = 5 2^{\circ}$ です。

手順 2：その角の内部にある弧を確認する。
$∠ BAT$ の内部にあるのは弧 $AB$ のうち、点 $T$ の側にある弧です。点 $C$ は直線 $AB$ に関して $T$ と反対側にあるので、この弧の上にはありません。

手順 3：その弧に対する円周角を見つける。
点 $C$ はこの弧 $AB$ の上にないので、 $∠ ACB$ はこの弧 $AB$ に対する円周角です。

手順 4：接弦定理を使う。
接弦定理より
$∠ ACB = ∠ BAT = 5 2^{\circ}$

よって、 $∠ ACB$ の大きさは $5 2^{\circ}$ です。

別解

接線と弦のなす角の定理（接弦定理）より、接線 $ℓ$ と弦 AB のなす角 $∠ BAT$ は、その角の内部にある弧 AB に対する円周角に等しい。
点 T は直線 AB に関して点 C と反対側にあるので、 $∠ BAT$ の内部にある弧 AB は点 C を含まない側の弧である。したがって、この弧に対する円周角は、C を含む側の弧上の点から見た角ではなく、反対側の弧上の点から見た角である。
そのため $∠ BAT$ は、C と反対側の弧上の点がつくる円周角に等しい。
一方、 $∠ ACB$ は C から弦 AB を見た円周角であり、C は T と反対側にあるので、 $∠ ACB$ は弧 AB（C を含まない側）に対する円周角である。
この弧 AB の中心角は $2 \times 5 2^{\circ} = 10 4^{\circ}$ であり、これは $∠ BAT$ が対する弧（T 側、C を含まない弧）の大きさである。
C は T と反対側にあるので、C から見える弧は T 側の弧 AB である。この弧の大きさは $2 \times 5 2^{\circ} = 10 4^{\circ}$ なので、 $∠ ACB = 5 2^{\circ}$ となる。

検算：T 側の弧 AB（C を含まない弧）の大きさを $x$ とすると、接弦定理から $∠ BAT = x /2 = 5 2^{\circ}$ 、すなわち $x = 10 4^{\circ}$ 。C はこの弧上にはなく、反対側の弧上にあるので、 $∠ ACB = x /2 = 5 2^{\circ}$ 。これは接弦定理の「接線と弦のなす角は、その角の内側にある弧に対する円周角に等しい」という主張そのものと一致する。

答え： $5 2^{\circ}$

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