図形の性質の問題

円 $\mathrm{O}$ に $△\mathrm{ABC}$ が内接しており、$\angle \mathrm{BAC}=48^{\circ }$、$\angle \mathrm{ACB}=60^{\circ }$ である。点 $\mathrm{A}$ における円 $\mathrm{O}$ の接線上に、直線 $\mathrm{AC}$ に関して点 $\mathrm{B}$ と反対側にある点 $\mathrm{T}$ をとる。$\angle \mathrm{TAC}$ の大きさは何度か。度を単位として数値で答えよ。

円 $\mathrm{O}$ の周上に $3$ 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ がある。直線 $\ell$ は点 $\mathrm{A}$ で円 $\mathrm{O}$ に接している。$\ell$ 上に、直線 $\mathrm{AB}$ に関して点 $\mathrm{C}$ と反対側に点 $\mathrm{T}$ をとる。$\angle \mathrm{BAT}=52^{\circ }$ のとき、$\angle \mathrm{ACB}$ の大きさは何度か求めよ。

円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ がある。対角線 $\mathrm{BD}$ について、$\angle \mathrm{ABD}=35^{\circ }$、$\angle \mathrm{ADB}=60^{\circ }$ である。辺 $\mathrm{BC}$ を点 $\mathrm{C}$ の側に延長した直線上に点 $\mathrm{E}$ をとる。$\angle \mathrm{DCE}=x^{\circ }$ とするとき、$x$ の値を求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ において、辺 $\mathrm{AB}$ 上に点 $\mathrm{D}$、辺 $\mathrm{AC}$ 上に点 $\mathrm{E}$ を、$\mathrm{DE}\parallel \mathrm{BC}$ となるようにとる。$\mathrm{AD}=6$, $\mathrm{DB}=4$, $\mathrm{AE}=9$ のとき、線分 $\mathrm{EC}$ の長さを求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=9$, $\mathrm{BC}=6$, $\mathrm{CA}=7$ とする。$△\mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$ とし、直線 $\mathrm{AI}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。このとき、$\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$ の値を求めよ。