円周上に、正六角形 ABCDEF の 6 つの頂点が反時計回りに A, B, C, D, E, F の順に並んでいます。点 P, Q ははじめ頂点 A にあります。大小 2 つのさいころを同時に投げ、大きいさいころの出た目の数だけ点 P を、小さいさいころの出た目の数だけ点 Q を、それぞれ頂点 A から反時計回りに隣の頂点へ 1 つずつ移動させます（たとえば 6 の目が出たら A にもどります）。このとき、3 点 A, P, Q を頂点とする直角三角形ができる確率を求めなさい。
さいころで決まる図形の条件の確率
さいころの目で動いた点や決まった点を頂点とする図形が、直角三角形・二等辺三角形になるなどの条件を満たす目の組を数え、確率を求められる
前提
- 点の移動と確率 （中学数学 場合の数と確率）
- 直径・弧の長さと円周角 （中学数学 平面図形）
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説明
さいころの目で点が多角形の頂点の上を動いたり、目で点の位置が決まったりするとき、その点を頂点とする図形が「直角三角形になる」「二等辺三角形になる」などの条件を満たす確率を求められるようになります。図形の条件を「どの頂点の組ならよいか」に言いかえ、さいころの 36 通りの表で数えるのがポイントです。
なぜそうしてよいのか
正多角形の頂点はすべて 1 つの円の周上にあり、となり合う頂点の間の弧はどれも同じ長さです。円周角の大きさは弧の長さに比例するので、たとえば正六角形なら、1 辺ぶんの弧に対する円周角は で、三角形のある頂点の角は「向かい側の弧にふくまれる辺の数 」になります。
この角が になるのは向かい側の弧が辺 3 つぶん、つまり半円のときで、そのときその弧の両端を結ぶ弦は直径です。したがって、正六角形の頂点 3 つでできる三角形が直角三角形になるのは、3 つの頂点の中に向かい合う 2 頂点（直径の両端）がふくまれるときであり、そのときに限ります。
また、点の位置は「進んだ数を頂点の数でわった余り」で決まります。図形の条件を「どの頂点にあればよいか」に言いかえれば、あとは 36 通りの中から目の組を数えるだけです。このとき、点が重なって三角形ができない場合を必ず除きます。
手順
さいころの目によって、それぞれの点がどの頂点に来るかを表す（進んだ数を頂点の数でわった余りで決まる）
点が重なるなどして図形ができない目の組を確かめ、除く
図形の条件を頂点の組の条件に言いかえる（例: 円に内接する三角形が直角三角形 1 辺が直径。二等辺三角形 2 辺に対する弧の長さが等しい）
条件を満たす目の組を表で数え、 を約分する
例題
円周上に、正六角形 ABCDEF の頂点が A→B→C→D→E→F→A の順に並んでいる。点 P と点 Q ははじめどちらも頂点 A にある。大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、大きいさいころの出た目を 、小さいさいころの出た目を とする。点 P は 個、点 Q は 個だけ、どちらも A→B→C→D→E→F→A→… の向きに頂点から頂点へ移動する。このとき、3 点 A, P, Q を頂点とする三角形ができて、それが直角三角形になる確率を求めよ。
例題の解答
手順 1: P は のとき、それぞれ B, C, D, E, F, A に来る。Q も について同じ。
手順 2: 三角形ができるには A, P, Q がすべて異なる頂点であればよい。 や だと点が A に重なり、 だと P と Q が重なるので除く。残りは が 1〜5 で の組である。
手順 3: 6 つの頂点は円周を 6 等分するので、1 辺ぶんの弧に対する円周角は 。角が になるのは向かい側の弧が辺 3 つぶん（半円）のときなので、直角三角形になるのは、3 頂点に直径の両端（A と D、B と E、C と F のどれか）がふくまれるときである。
- P が D () で、: 4 通り
- Q が D () で、: 4 通り
- P と Q が向かい合う（B と E、または C と F）: の 4 通り
手順 4: 合わせて 通り。全体は 通りなので、確率は 。
答え:
よくある誤り
点が重なって三角形ができない場合（、、）も数に入れてしまう誤り。正しくは、A, P, Q がすべて異なる頂点の組だけから条件を満たすものを数え、確率の分母は 36 のままにする。
A をふくむ直径 AD の場合だけを数えて としてしまう誤り。正しくは、P と Q が B と E、または C と F になるときも 1 辺が直径なので直角三角形になり、合わせて 12 通りになる。
「P が D、Q が B」と「P が B、Q が D」を同じ 1 通りと数えてしまう誤り。正しくは大小のさいころを区別するので と は別の 2 通りである。
6 進んだ点を、はじめの A のとなりの B にあると考えてしまう誤り。正しくは 6 個進むとちょうど 1 周して A にもどる（6 でわった余りが 0）。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
正六角形 があり、頂点 はこの順に反時計回りに並んでいる。2 点 ははじめ頂点 にある。
大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、大きいさいころの出た目の数だけ点 を頂点から頂点へ反時計回りに移動させ、小さいさいころの出た目の数だけ点 を頂点から頂点へ時計回りに移動させる。たとえば、大きいさいころの目が 、小さいさいころの目が のとき、 は頂点 、 は頂点 に移る。
移動したあと、3 点 を結んでできる図形が直角三角形になる確率を求めよ。ただし、3 点のうち 2 点以上が同じ頂点にあるときは、三角形はできないものとする。
正六角形 があり、頂点は反時計回りに , , , , , の順に並んでいる。はじめ、2 つの点 , はどちらも頂点 にある。大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、大きいさいころの出た目の数を 、小さいさいころの出た目の数を とする。点 は頂点 から反時計回りに 個先の頂点へ、点 は頂点 から時計回りに 個先の頂点へ、それぞれ頂点を 1 つずつ順に移動する。移動したあとの 3 点 , , を頂点とする直角三角形ができる確率を求めよ。