場合の数と確率の問題

大小 2 つのさいころの目の出方は全部で $6\times 6=36$ 通りあり、どれも同様に確からしい。

点の位置 出た目と、移動後の点の位置は次のように対応する。
$1\to \mathrm{B},2\to \mathrm{C},3\to \mathrm{D},4\to \mathrm{E},5\to \mathrm{F},6\to \mathrm{A}$

三角形ができる条件 3 点 A, P, Q で三角形ができるのは、P も Q も A 以外の頂点で、しかも P と Q が異なる頂点のときである。

直角三角形になる条件 6 つの頂点は同じ円周上にあるので、三角形 APQ はこの円に内接する。直径に対する円周角は $90^{\circ }$ だから、三角形 APQ の 3 辺のどれかが円の直径になれば直角三角形になる。また、三角形の角が $90^{\circ }$ になるのは、その角に対する辺が直径のときだけである。正六角形で直径になるのは、向かい合う頂点を結ぶ AD, BE, CF の 3 本である。

そこで、P, Q（A 以外で異なる頂点）の組のうち、辺に直径をふくむものを数える。

• 辺 AP または AQ が直径 AD のとき: P が D のとき Q は B, C, E, F の 4 通り、Q が D のとき P は B, C, E, F の 4 通りで、合わせて $8$ 通り
• 辺 PQ が直径 BE のとき: (P, Q) = (B, E), (E, B) の $2$ 通り
• 辺 PQ が直径 CF のとき: (P, Q) = (C, F), (F, C) の $2$ 通り

これらは重ならないので、合計 $8+2+2=12$ 通り。

出た目と点の位置は 1 対 1 に対応しているので、直角三角形ができる目の出方も 12 通りである。

よって、求める確率は
$$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$

A を 0 番目として、反時計回りに B, C, D, E, F を 1, 2, 3, 4, 5 番目とする。さいころの目 1〜5 はそのまま番号、6 は A（0 番目）になる。円周上の三角形が直角三角形になるのは、円周角が $90^{\circ }$ になる、つまり 3 点のうち 2 点が直径の両端のときである。正六角形の外接円で直径になる組は、AD, BE, CF の 3 組。また、P, Q が A と重なると三角形にならない。
（ア）AP が直径：P = D 。このとき Q は A, D 以外の 4 か所（B, C, E, F）で、4 通り。
（イ）AQ が直径：Q = D 。P は B, C, E, F の 4 通り。
（ウ）PQ が直径（P, Q とも A でない）：(P, Q) = (B,E), (E,B), (C,F), (F,C) の 4 通り。
（ア）（イ）（ウ）は重ならないので、合わせて $4+4+4=12$ 通り。2 つのさいころの目の出方は全部で $6\times 6=36$ 通り。確率は $\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$ 。
確かめ：たとえば P = D, Q = B のとき、AD が直径で角 ABD （角 Q）は $90^{\circ }$ 、直角三角形になる。