点の移動と確率

数直線上の原点に点 P があります。1 枚の硬貨を 3 回投げ、表が出たら点 P を正の方向に $2$ だけ移動させ、裏が出たら点 P を負の方向に $1$ だけ移動させます。硬貨を 3 回投げ終えたとき、点 P が $3$ の位置にある確率を求めなさい。

数直線上の原点に点 P がある。硬貨を $1$ 回投げるごとに、表が出たら点 P を正の方向に $2$ だけ移動させ、裏が出たら点 P を負の方向に $1$ だけ移動させる。硬貨を $3$ 回投げたあと、点 P が $3$ を表す点にある確率を求めよ。

正方形 $\mathrm{ABCD}$ があり、頂点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ はこの順に反時計回りに並んでいる。点 $\mathrm{P}$ ははじめ頂点 $\mathrm{A}$ にある。

大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、出た目の数の和だけ、点 $\mathrm{P}$ を頂点から頂点へ反時計回りに移動させる。たとえば、出た目の数の和が $5$ のとき、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}\to \mathrm{B}$ と移動して頂点 $\mathrm{B}$ に止まる。

点 $\mathrm{P}$ が頂点 $\mathrm{C}$ に止まる確率を求めよ。

正五角形 ABCDE があり、頂点は反時計回りに A, B, C, D, E の順に並んでいる。点 P ははじめ頂点 A にある。大小 $2$ つのさいころを同時に投げ、まず大きいさいころの出た目の数だけ、点 P を頂点から頂点へ反時計回りに移動させる。続いて、小さいさいころの出た目の数だけ、点 P を頂点から頂点へ時計回りに移動させる。このとき、点 P が頂点 A にある確率を求めよ。

数直線上の原点に点 $\mathrm{P}$ がある。大小 $2$ つのさいころを同時に $1$ 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。点 $\mathrm{P}$ を次の規則にしたがって移動させる。

• まず、点 $\mathrm{P}$ を正の方向に $a$ だけ移動させる。
• 続いて、$b$ が偶数のときは点 $\mathrm{P}$ を正の方向に $b$ だけ移動させ、$b$ が奇数のときは点 $\mathrm{P}$ を負の方向に $b$ だけ移動させる。

移動を終えたときの点 $\mathrm{P}$ の位置を表す数が $-2$ 以上 $2$ 以下である確率を求めよ。

立方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ がある。四角形 $\mathrm{ABCD}$ と四角形 $\mathrm{EFGH}$ は向かい合う面であり、辺 $\mathrm{AE},\mathrm{BF},\mathrm{CG},\mathrm{DH}$ はこの立方体の辺である。点 $\mathrm{P}$ ははじめ頂点 $\mathrm{A}$ にある。$1$ 個のさいころを $1$ 回投げるごとに、点 $\mathrm{P}$ を次の規則にしたがって、いまいる頂点から辺を $1$ 本たどってとなりの頂点へ移動させる。

• $1$ または $2$ の目が出たら、辺 $\mathrm{AB}$ に平行な辺をたどって移動する。
• $3$ または $4$ の目が出たら、辺 $\mathrm{AD}$ に平行な辺をたどって移動する。
• $5$ または $6$ の目が出たら、辺 $\mathrm{AE}$ に平行な辺をたどって移動する。

（どの頂点にも、辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AD},\mathrm{AE}$ のそれぞれに平行な辺がちょうど $1$ 本ずつつながっているので、移動先はただ $1$ つに決まる。）

さいころを $4$ 回投げたあと、点 $\mathrm{P}$ が頂点 $\mathrm{A}$ にある確率を求めよ。