場合の数と確率の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学数学場合の数と確率

立方体 $ABCD - EFGH$ がある。四角形 $ABCD$ と四角形 $EFGH$ は向かい合う面であり、辺 $AE, BF, CG, DH$ はこの立方体の辺である。点 $P$ ははじめ頂点 $A$ にある。 $1$ 個のさいころを $1$ 回投げるごとに、点 $P$ を次の規則にしたがって、いまいる頂点から辺を $1$ 本たどってとなりの頂点へ移動させる。

$1$ または $2$ の目が出たら、辺 $AB$ に平行な辺をたどって移動する。
$3$ または $4$ の目が出たら、辺 $AD$ に平行な辺をたどって移動する。
$5$ または $6$ の目が出たら、辺 $AE$ に平行な辺をたどって移動する。

（どの頂点にも、辺 $AB, AD, AE$ のそれぞれに平行な辺がちょうど $1$ 本ずつつながっているので、移動先はただ $1$ つに決まる。）

さいころを $4$ 回投げたあと、点 $P$ が頂点 $A$ にある確率を求めよ。

この問題で使うもの

点の移動と確率（説明と入口の問題）
確率の意味と求め方（説明と入口の問題）
積の法則と和の法則（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（11 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

同じ方向に $2$ 回移動すると、点 $P$ はその方向についてもとの側にもどる。頂点 $A$ にもどるには、各方向の移動回数がどうなっていればよいか考えよう。

ヒント 2

各方向は $2$ つの目に対応するので、 $1$ 回ごとの方向は $x, y, z$ の $3$ 通りが同様に確からしいと考えてよい。方向の並び方は全部で $3^{4} = 81$ 通り。

ヒント 3

条件は「どの方向の回数も偶数」。 $1$ つの方向に $4$ 回の場合と、 $2$ つの方向に $2$ 回ずつの場合に分けて数えよう。 $x$ を $2$ 回、 $y$ を $2$ 回の並べ方は $6$ 通りある。

答えと解説

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\frac{7}{27}

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解説を読む

辺 $AB$ に平行な移動を「 $x$ 方向」、辺 $AD$ に平行な移動を「 $y$ 方向」、辺 $AE$ に平行な移動を「 $z$ 方向」とよぶ。

同じ方向に $1$ 回移動すると、その方向について反対側の面に移り、もう $1$ 回同じ方向に移動するともとの側にもどる。したがって、点 $P$ が頂点 $A$ にもどるのは、 $x$ 方向、 $y$ 方向、 $z$ 方向の移動の回数がどれも偶数（ $0$ 回、 $2$ 回、 $4$ 回）のときである。また、移動の順番は関係なく、それぞれの方向の回数だけで位置が決まる。

全体の数
さいころを $4$ 回投げるときの目の出方は $6^{4} = 1296$ 通りで、どれも同様に確からしい。
各回の移動の方向は、 $x, y, z$ のどれも $2$ つの目に対応するので、方向の並び方 $1$ 通りに対して目の出方は $2^{4} = 16$ 通りずつある。方向の並び方は全部で $3^{4} = 81$ 通りであり、 $81 \times 16 = 1296$ となる。
よって、方向の並び方 $81$ 通りが同様に確からしいと考えて数えればよい。

条件を満たす方向の並び方
$4$ 回の移動で、どの方向の回数も偶数になるのは次の場合である。

(i) $1$ つの方向だけに $4$ 回移動する場合
$xxxx, y y y y, z z z z$ の $3$ 通り。

(ii) $2$ つの方向にそれぞれ $2$ 回ずつ移動する場合
方向の組は ${x, y}, {x, z}, {y, z}$ の $3$ 通り。たとえば $x$ を $2$ 回、 $y$ を $2$ 回のときの並べ方は
$xx y y, x y x y, x y y x, y xx y, y x y x, y y xx$
の $6$ 通り。よって $3 \times 6 = 18$ 通り。

合計は $3 + 18 = 21$ 通り。

よって、求める確率は
$\frac{21}{81} = \frac{7}{27}$

別解

1 回ごとに、AB 方向・AD 方向・AE 方向のどれかに動き、それぞれ確率 $\frac{1}{3}$ （2 つの目ずつ）。さいころの目の出方は $6^{4}$ 通りだが、方向だけで考えると $3^{4} = 81$ 通りが同様に確からしい。
同じ方向に 1 回動くと反対側の頂点に移り、もう 1 回動くと元に戻る。したがって A にもどるのは、3 方向それぞれの回数がすべて偶数のとき。
4 回の合計が 4 なので、回数の組は次のとおり。
(4回, 0回, 0回) の型: 3 方向のうちどれが 4 回かで 3 通り、順番は 1 通りずつなので $3$ 通り。
(2回, 2回, 0回) の型: 0 回の方向の選び方が 3 通り、順番は $\frac{4 !}{2 ! 2 !} = 6$ 通りずつなので $3 \times 6 = 18$ 通り。
合計 $3 + 18 = 21$ 通り。確率は $\frac{21}{81} = \frac{7}{27}$ 。
検算: 各方向の回数が偶数のとき、頂点は $x, y, z$ 座標が 0 に戻る。奇数が 1 つでも残ると戻らない。回数の組 $(1, 1, 2), (1, 3, 0), \dots$ は A にもどらない。

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