場合の数と確率の問題

大小 2 つのさいころの目の出方は全部で $6\times 6=36$ 通りあり、どれも同様に確からしい。

大きいさいころの目と $\mathrm{P}$ の位置は次のようになる。
$1\to \mathrm{B},2\to \mathrm{C},3\to \mathrm{D},4\to \mathrm{E},5\to \mathrm{F},6\to \mathrm{A}$

小さいさいころの目と $\mathrm{Q}$ の位置は次のようになる。
$1\to \mathrm{F},2\to \mathrm{E},3\to \mathrm{D},4\to \mathrm{C},5\to \mathrm{B},6\to \mathrm{A}$

直角三角形になる条件
正六角形の 6 つの頂点は 1 つの円（外接円）の周上にある。3 点 $\mathrm{A},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ はすべてこの円周上にあるので、三角形 $\mathrm{APQ}$ が直角三角形になるのは、ある内角が $90^{\circ }$ のとき、つまり円周角の定理より、その角に向かい合う辺が外接円の直径になるときである。外接円の直径になるのは、向かい合う頂点を結んだ $\mathrm{AD},\mathrm{BE},\mathrm{CF}$ の 3 本だけである。

また、三角形ができるためには、$\mathrm{P}$ も $\mathrm{Q}$ も $\mathrm{A}$ にはなく（どちらのさいころも $6$ 以外）、$\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ が別の頂点にある必要がある。

(i) $\mathrm{AP}$ が直径のとき
$\mathrm{P}=\mathrm{D}$（大きいさいころが $3$）。$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{A},\mathrm{D}$ 以外なので、小さいさいころは $1,2,4,5$ の $4$ 通り。

(ii) $\mathrm{AQ}$ が直径のとき
$\mathrm{Q}=\mathrm{D}$（小さいさいころが $3$）。$\mathrm{P}$ は $\mathrm{A},\mathrm{D}$ 以外なので、大きいさいころは $1,2,4,5$ の $4$ 通り。

(iii) $\mathrm{PQ}$ が直径のとき
$\mathrm{P},\mathrm{Q}$ がどちらも $\mathrm{D}$ でない場合で、$\{\mathrm{P},\mathrm{Q}\}$ が $\{\mathrm{B},\mathrm{E}\}$ または $\{\mathrm{C},\mathrm{F}\}$ になればよい。（大，小）の目で表すと
- $\mathrm{P}=\mathrm{B},\mathrm{Q}=\mathrm{E}$：$(1,2)$
- $\mathrm{P}=\mathrm{E},\mathrm{Q}=\mathrm{B}$：$(4,5)$
- $\mathrm{P}=\mathrm{C},\mathrm{Q}=\mathrm{F}$：$(2,1)$
- $\mathrm{P}=\mathrm{F},\mathrm{Q}=\mathrm{C}$：$(5,4)$
の $4$ 通り。

(i), (ii), (iii) に重なりはないので、直角三角形になるのは $4+4+4=12$ 通り。

よって、求める確率は
$$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$

頂点を A から反時計回りに $0,1,2,3,4,5$ と番号をつける（A=0, B=1, C=2, D=3, E=4, F=5）。

大きいさいころの目 $a$ のとき、P は番号 $a$ を $6$ で割った余りの頂点に移る。$a=1,2,3,4,5$ なら番号 $1,2,3,4,5$、$a=6$ なら番号 $0$（A）。
小さいさいころの目 $b$ のとき、Q は時計回りに $b$ 進むので、$b=1,2,3,4,5,6$ に対して番号 $5,4,3,2,1,0$ に移る。

したがって P の番号も Q の番号も、$0$ から $5$ の各値がちょうど $1$ 回ずつ現れ、$36$ 通りの目の出方は P, Q の番号の組 $36$ 通り（$6\times 6$）と 1 対 1 に対応する。

三角形ができるのは A, P, Q がすべて異なるとき、つまり P, Q の番号が $1\sim 5$ で P と Q が異なるときである。

正六角形の頂点は同じ円周上にあり、円周角の定理より、三角形が直角三角形になるのは $3$ 辺のうち $1$ 辺が円の直径（向かい合う頂点を結ぶ線分）になるとき。向かい合う頂点の組は (A, D), (B, E), (C, F)、番号では $(0,3),(1,4),(2,5)$。A を含む組は (A, D) だけなので、直角三角形になるのは次のいずれか。
- P が D（番号 $3$）: Q は番号 $1,2,4,5$ の $4$ 通り
- Q が D（番号 $3$）: P は番号 $1,2,4,5$ の $4$ 通り
- P, Q が B と E（番号 $1,4$）: $2$ 通り（P=B,Q=E と P=E,Q=B）
- P, Q が C と F（番号 $2,5$）: $2$ 通り

これらは重ならないので合計 $4+4+2+2=12$ 通り。

確率は $\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$。

検算: 例 P=B(1), Q=E(4) のとき、BE は直径なので A での角が... 直径 BE に対して頂点 A から見た角 BAE は $90^{\circ }$ で直角三角形。例 P=C(2), Q=D(3) のとき、辺は AC, CD, AD で AD が直径なので直角三角形になるが、これは Q=D の場合（$4$ 通りの中）に数えている。