技能一覧 › 算数 整数の性質

周期のある数の並び

くり返しの 1 周期を見つけ、わり算の商と余りを使って、□ 番目の数や、1 番目から □ 番目までの数の和を求められる

前提

中学までに習ったことだけで始められます。

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 列を見て、くり返しのひとまとまり（1 周期）と、その中の数の個数（周期の長さ）を見つける

2. □ を周期の長さでわり、商とあまりを求める

3. □ 番目の数は、1 周期の「あまり」番目の数。あまりが 0 なら 1 周期の最後の数

4. 和を求めるときは、1 周期の数の和を計算する

5. 1 周期の和 × 商 に、1 周期の最初から「あまり」この数の和をたす

例題

よくある誤り

• あまりが 0 のときに、1 周期の最初の数を答えてしまう誤り。上の列の 35 番目を、$35÷5=7$ あまり 0 だから 3（1 番目の数）としてはいけません。ちょうど周期の終わりなので、正しくは 1 周期の最後の数 5 です。

• あまりの部分を、周期の最後から数えてしまう誤り。38 番目までの和で、あまり 3 この和を「4, 2, 5」で $11$ としてはいけません。次の周期は最初から始まるので、正しくは「3, 1, 4」で $8$ です。

• 商に 1 をたしてしまい、周期を 1 回多く数える誤り。$38÷5=7$ あまり 3 のとき、$15\times 8=120$ に 8 をたして 128 としてはいけません。完全に終わった周期は 7 回なので、正しくは $15\times 7+8=113$ です。

• 周期の長さをまちがえる誤り。$1,2,3,2,1,2,3,2,\cdots$ の周期を「1, 2, 3」の 3 こ としてはいけません。くり返しの最初にもどるまでを調べて、正しくは「1, 2, 3, 2」の 4 こです。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  次のように、$3,1,4$ の 3 つの数がこの順にくり返しならんでいます。
  $$3,1,4,3,1,4,3,1,4,\cdots$$
  最初から数えて $20$ 番目の数は何ですか。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  次のように、ある規則にしたがって数が並んでいます。
  $$4,1,3,6,2,4,1,3,6,2,4,1,\dots$$
  左から数えて $1$ 番目から $63$ 番目までの数をすべてたすと、いくつになりますか。

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  $1÷7$ の計算をして、商を小数で表します。わり切れないので、どこまでも計算を続けるものとします。このとき、小数第 $50$ 位の数字は何ですか。

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  白と黒の碁石を、左から「白、黒、黒、白、黒」の順にくり返して、全部で $103$ 個並べます。並べた $103$ 個のうち、黒の碁石は何個ありますか。

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  ある年の $5$ 月 $1$ 日は金曜日です。この年の $5$ 月 $1$ 日から $7$ 月 $31$ 日までの間（$5$ 月 $1$ 日と $7$ 月 $31$ 日もふくみます）に、金曜日は全部で何回ありますか。ただし、$5$ 月は $31$ 日、$6$ 月は $30$ 日、$7$ 月は $31$ 日まであります。

• 難易度 3（中学入試の基本レベル）

  分数 $\frac{1}{7}$ を小数で表し、小数第 $1$ 位の数字から順に、各位の数字をたしていきます。たした和がはじめて $300$ より大きくなるのは、小数第何位の数字までたしたときですか。

• 難易度 3（中学入試の基本レベル）

  $7$ を $1$ 個かけた数（$7$）、$7$ を $2$ 個かけた数（$7\times 7=49$）、$7$ を $3$ 個かけた数（$7\times 7\times 7=343$）、…… のように、$7$ を $1$ 個から $50$ 個までかけた $50$ 個の数を考えます。これら $50$ 個の数それぞれの一の位の数字をすべてたすと、いくつになりますか。

この技能の次に学べること

• 点の移動と確率 （中学数学 場合の数と確率）