整数の性質の問題

曜日は $7$ 日ごとにくり返します。

【日数】
$5$ 月 $1$ 日から $7$ 月 $31$ 日までの日数は
$$31+30+31=92\text{（日）}$$

【7 日ずつに区切る】
$5$ 月 $1$ 日（金曜日）から $7$ 日ずつ区切ると、
$$92÷7=13\text{ あまり }1$$
です。$7$ 日ずつの $13$ 組には、金曜日がそれぞれちょうど $1$ 回ずつあるので $13$ 回です。

【あまりの 1 日】
あまりの $1$ 日は $92$ 日目で、各組の $1$ 日目と同じ曜日なので金曜日です（$92$ 日目は $7$ 月 $31$ 日）。

よって、金曜日は
$$13+1=14\text{（回）}$$

（別の考え方：金曜日は $1$ 日目、$8$ 日目、$15$ 日目、…と、$1$ 日目から $7$ 日ずつ後なので、$1+7\times 13=92$ 日目までに $13+1=14$ 回あります。）

5 月 1 日から 7 月 31 日までの日数は $31+30+31=92$ 日。
$92÷7=13$ あまり $1$ なので、7 日ずつの 13 週間と、あまりの 1 日（最後の 1 日）がある。
13 週間の中に金曜日は 1 週に 1 回ずつで 13 回。あまりの 1 日は、最初の日から数えて 92 日目で、5 月 1 日（金曜日）から $91$ 日後（$91=7\times 13$）なので金曜日。
よって $13+1=14$ 回。
検算: 金曜日は 1 日目、8 日目、…と 7 日ごとなので、$1+7\times 13=92$ 日目も金曜日。1 日目から 92 日目までの金曜日は $(92-1)÷7+1=14$ 回で一致する。