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場合の数と確率の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学数学場合の数と確率

数直線上の原点に点 $P$ がある。大小 $2$ つのさいころを同時に $1$ 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$ 、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。点 $P$ を次の規則にしたがって移動させる。

まず、点 $P$ を正の方向に $a$ だけ移動させる。
続いて、 $b$ が偶数のときは点 $P$ を正の方向に $b$ だけ移動させ、 $b$ が奇数のときは点 $P$ を負の方向に $b$ だけ移動させる。

移動を終えたときの点 $P$ の位置を表す数が $- 2$ 以上 $2$ 以下である確率を求めよ。

この問題で使うもの

点の移動と確率（説明と入口の問題）
2 つのさいころと 36 通りの表（説明と入口の問題）
確率の意味と求め方（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（11 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$b$ が偶数のときと奇数のときに分けて、最後の点 $P$ の位置を $a, b$ の式で表そう。

ヒント 2

$b$ が偶数のときの位置は $a + b$ 、奇数のときの位置は $a - b$ である。 $a + b$ はいくつ以上になるか考えよう。

ヒント 3

$b$ が偶数のときは条件を満たさない。 $b$ が奇数のときは $b - 2 ≦ a ≦ b + 2$ となる $a$ を、 $b = 1, 3, 5$ それぞれについて数えよう。

答えと解説

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\frac{1}{3}

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解説を読む

目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りあり、どれも同様に確からしい。

移動を終えたときの点 $P$ の位置は、
- $b$ が偶数のとき $a + b$
- $b$ が奇数のとき $a - b$

である。

$b$ が偶数のとき
$a ≧ 1, b ≧ 2$ より $a + b ≧ 3$ なので、位置が $2$ 以下になることはない。条件を満たすのは $0$ 通り。

$b$ が奇数のとき
$- 2 ≦ a - b ≦ 2$ 、すなわち $b - 2 ≦ a ≦ b + 2$ を満たす $a$ を数える（ $1 ≦ a ≦ 6$ ）。
- $b = 1$ のとき: $- 1 ≦ a ≦ 3$ より $a = 1, 2, 3$ の $3$ 通り
- $b = 3$ のとき: $1 ≦ a ≦ 5$ より $a = 1, 2, 3, 4, 5$ の $5$ 通り
- $b = 5$ のとき: $3 ≦ a ≦ 7$ より $a = 3, 4, 5, 6$ の $4$ 通り

合計は $3 + 5 + 4 = 12$ 通り。

よって、求める確率は
$\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

別解

目の出方は全部で $36$ 通り。移動後の位置は、 $b$ が偶数のとき $a + b$ 、 $b$ が奇数のとき $a - b$ 。
$b = 1$ : $a - 1$ が $- 2$ 以上 $2$ 以下になるのは $a \leq 3$ なので $a = 1, 2, 3$ の $3$ 通り。
$b = 2$ : $a + 2 \geq 3$ なので $0$ 通り。
$b = 3$ : $a - 3$ が $- 2$ 以上 $2$ 以下になるのは $1 \leq a \leq 5$ なので $5$ 通り。
$b = 4$ : $a + 4 \geq 5$ なので $0$ 通り。
$b = 5$ : $a - 5$ が $- 2$ 以上 $2$ 以下になるのは $3 \leq a \leq 7$ なので $a = 3, 4, 5, 6$ の $4$ 通り。
$b = 6$ : $a + 6 \geq 7$ なので $0$ 通り。
合計 $3 + 5 + 4 = 12$ 通り。確率は $\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ 。
検算: $b = 5, a = 3$ のとき位置は $3 - 5 = - 2$ （含む）、 $b = 1, a = 3$ のとき $3 - 1 = 2$ （含む）。

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