平面図形の問題

$\angle \mathrm{ABD}$ を求める

$\angle \mathrm{ABD}$ は、点 $\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ をふくまないほうの弧 $\mathrm{AD}$ に対する円周角である。円周角の定理より、円周角は同じ弧に対する中心角の半分なので、

$$\angle \mathrm{ABD}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{AOD}=\frac{1}{2}\times 100^{\circ }=50^{\circ }$$

$\angle \mathrm{BAC}$ を求める

$△\mathrm{ABE}$ の内角の和は $180^{\circ }$ で、$\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{ABD}=50^{\circ }$、$\angle \mathrm{AEB}=110^{\circ }$ なので、

$$\angle \mathrm{BAE}=180^{\circ }-50^{\circ }-110^{\circ }=20^{\circ }$$

よって $\angle \mathrm{BAC}=20^{\circ }$ である。

$\angle \mathrm{BDC}$ を求める

$\angle \mathrm{BAC}$ と $\angle \mathrm{BDC}$ は、どちらも弧 $\mathrm{BC}$（点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{D}$ をふくまないほう）に対する円周角である。同じ弧に対する円周角は等しいので、

$$\angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{BAC}=20^{\circ }$$

答え: $20^{\circ }$

弧 AD（B, C をふくまないほう）に対する中心角が $100^{\circ }$ なので、円周角の定理より弧 AD に対する円周角 $\angle \mathrm{ACD}=100^{\circ }÷2=50^{\circ }$。

線分 AC と BD は点 E で交わっており、$\angle \mathrm{AEB}$ と $\angle \mathrm{CED}$ は対頂角なので $\angle \mathrm{CED}=110^{\circ }$。

$△\mathrm{ECD}$ で $\angle \mathrm{ECD}=\angle \mathrm{ACD}=50^{\circ }$、$\angle \mathrm{CED}=110^{\circ }$ より
$\angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{EDC}=180^{\circ }-50^{\circ }-110^{\circ }=20^{\circ }$。

【検算】円周角と弧の関係で、弧 AD $=100^{\circ }$。$\angle \mathrm{AEB}=\frac{\widehat{\mathrm{AB}}+\widehat{\mathrm{CD}}}{2}=110^{\circ }$ より 弧 AB $+$ 弧 CD $=220^{\circ }$。すると弧 BC $=360^{\circ }-100^{\circ }-220^{\circ }=40^{\circ }$ で、$\angle \mathrm{BDC}=40^{\circ }÷2=20^{\circ }$。一致する。

答え $20^{\circ }$