相似と三平方の定理の問題

まず $△ABC$ の面積を求める。

頂点 $A$ から辺 $BC$ に垂線 $AH$ をひき、$BH=x\text{cm}$ とする。$\angle B$, $\angle C$ はともに鋭角（最大の辺 $CA=7$ について $5^2+6^2=61>49$ なので $△ABC$ は鋭角三角形）なので、$H$ は辺 $BC$ 上にあり、$CH=6-x$ である。

$△ABH$ と $△ACH$ で三平方の定理を使うと
$$A{H}^2=5^2-x^2,A{H}^2=7^2-(6-x{)}^2.$$
よって
$$25-x^2=49-(36-12x+x^2)$$
$$25-x^2=13+12x-x^2$$
$$12x=12,x=1.$$
したがって $A{H}^2=25-1=24$ より $AH=2\sqrt{6}$ である。

$△ABC$ の面積は
$$\frac{1}{2}\times 6\times 2\sqrt{6}=6\sqrt{6}({\text{cm}}^2).$$

頂点 $B$ から辺 $CA$ にひいた垂線の長さを $h\text{cm}$ とすると、$CA$ を底辺とみて
$$\frac{1}{2}\times 7\times h=6\sqrt{6}$$
$$h=\frac{12\sqrt{6}}{7}.$$

頂点 $B$ から辺 $CA$ にひいた垂線の足を $H$ とし、$CH=x$ とおく（$\angle C$ が鋭角なので $H$ は線分 $CA$ 上にある）。$BH=h$ とする。
$△BCH$ で三平方の定理より $h^2=6^2-x^2$。$△ABH$ で $AH=7-x$ より $h^2=5^2-(7-x{)}^2$。
よって $36-x^2=25-(49-14x+x^2)$、$36=25-49+14x$、$14x=60$、$x=\frac{30}{7}$。
$h^2=36-\frac{900}{49}=\frac{1764-900}{49}=\frac{864}{49}$。$h=\frac{\sqrt{864}}{7}=\frac{12\sqrt{6}}{7}$。
検算: $x=\frac{30}{7}$ は $0<x<7$ を満たす。$h^2$ を別の式で: $25-{\left(7-\frac{30}{7}\right)}^2=25-{\left(\frac{19}{7}\right)}^2=25-\frac{361}{49}=\frac{864}{49}$ で一致。