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相似と三平方の定理の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学相似と三平方の定理

中心が $O$ 、半径が $7 cm$ の円がある。この円の弦 $A B$ と中心 $O$ との距離が $3 cm$ であるとき、弦 $A B$ の長さは何 $cm$ か求めよ。

O

A

B

3 cm

7 cm

この問題で使うもの

三平方の定理と平面図形（説明と入口の問題）
平方根の意味と根号の簡単化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（24 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

中心 $O$ から弦 $A B$ に垂線をひいて、直角三角形をつくろう。

ヒント 2

中心から弦にひいた垂線は弦を $2$ 等分する。半径 $O A$ が直角三角形の斜辺になる。

ヒント 3

垂線の足を $H$ とすると $A H^{2} + 3^{2} = 7^{2}$ が成り立つ。

答えと解説

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410

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解説を読む

中心 $O$ から弦 $A B$ に垂線 $O H$ をひくと、 $O H = 3 cm$ である。 $O A = O B$ （半径）だから $△ O A B$ は二等辺三角形で、頂点 $O$ から底辺 $A B$ にひいた垂線は $A B$ を $2$ 等分する。よって $A H = B H$ である。

$△ O A H$ は $∠ O H A = 9 0^{\circ}$ の直角三角形で、 $O A = 7 cm$ だから、三平方の定理より
$A H^{2} + 3^{2} = 7^{2}$
$A H^{2} = 49 - 9 = 40$
$A H > 0$ だから
$A H = 40 = 210 (cm)$

したがって
$A B = 2 A H = 2 \times 210 = 410 (cm)$

別解

$O$ から弦 $A B$ にひいた垂線の足を $H$ とすると、 $H$ は $A B$ の中点で $O H = 3 cm$ 。 $△ O A H$ は直角三角形で $O A = 7$ なので三平方の定理より $A H^{2} = 7^{2} - 3^{2} = 40$ 、 $A H = 210 cm$ 。 $A B = 2 A H = 410 cm$ 。検算: $(210)^{2} + 3^{2} = 40 + 9 = 49 = 7^{2}$ 。

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