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相似と三平方の定理の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学相似と三平方の定理

相似な $2$ つの円柱 $P$ 、 $Q$ があり、 $P$ と $Q$ の表面積の比は $4 : 9$ である。円柱 $P$ の体積が $56 π cm^{3}$ のとき、円柱 $Q$ の体積は何 $cm^{3}$ か求めよ。ただし、円周率は $π$ とする。

P

Q

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント 1

表面積の比から、まず $2$ つの円柱の相似比を求める。

ヒント 2

相似比が $m : n$ のとき、表面積の比は $m^{2} : n^{2}$ 、体積の比は $m^{3} : n^{3}$ になる。

ヒント 3

$4 : 9 = 2^{2} : 3^{2}$ なので相似比は $2 : 3$ 、体積の比は $8 : 27$ である。これを使って比例式をつくる。

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189 π

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解説を読む

相似な立体では、相似比が $m : n$ のとき、表面積の比は $m^{2} : n^{2}$ 、体積の比は $m^{3} : n^{3}$ になる。

表面積の比が $4 : 9 = 2^{2} : 3^{2}$ なので、 $P$ と $Q$ の相似比は $2 : 3$ である。

よって、体積の比は
$2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$
である。

円柱 $Q$ の体積を $V cm^{3}$ とすると
$56 π : V = 8 : 27$
$8 V = 56 π \times 27$
$V = 7 π \times 27 = 189 π$

よって、円柱 $Q$ の体積は $189 π cm^{3}$ である。

別解

相似な立体では、表面積の比は相似比の $2$ 乗に等しい。表面積の比が $4 : 9 = 2^{2} : 3^{2}$ なので、相似比は $2 : 3$ である。

体積の比は相似比の $3$ 乗に等しいので、 $P$ と $Q$ の体積の比は $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$ である。

$Q$ の体積を $V cm^{3}$ とすると、 $56 π : V = 8 : 27$ 。
$8 V = 56 π \times 27$
$V = 7 π \times 27 = 189 π$

確かめ: $189 π \div 56 π = \frac{27}{8}$ で、体積の比 $27 : 8$ と一致する。

答え: $189 π cm^{3}$