空間図形の問題

三角柱 $\mathrm{ABC}\text{-}\mathrm{DEF}$ があります。底面の $△\mathrm{ABC}$ は $\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ }$、$\mathrm{AB}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=6\text{cm}$ の直角三角形です。頂点 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ はそれぞれ頂点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ の真上にあり、辺 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ は底面に垂直で、長さはどれも $9\text{cm}$ です。

この三角柱を $3$ 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{E}$ を通る平面で切って $2$ つの立体に分けるとき、頂点 $\mathrm{D}$ をふくむほうの立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

直方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ があり、長方形 $\mathrm{ABCD}$ が底面、$\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CG}$, $\mathrm{DH}$ が底面に垂直な辺です。$\mathrm{AB}=5\text{cm}$、$\mathrm{BC}=3\text{cm}$、$\mathrm{AE}=6\text{cm}$ とします。頂点 $\mathrm{A}$ から、面 $\mathrm{ABFE}$ と面 $\mathrm{BCGF}$ の上を通り、辺 $\mathrm{BF}$ 上の点 $\mathrm{P}$ を通って頂点 $\mathrm{G}$ まで糸をかけます。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さ $\mathrm{AP}+\mathrm{PG}$ は何 $\text{cm}$ ですか。

底面の半径が $2\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。底面の円周上に点 $\mathrm{A}$ をとります。点 $\mathrm{A}$ から円錐の側面にそって糸を $1$ 周巻きつけ、再び点 $\mathrm{A}$ まで戻します。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さは何 $\text{cm}$ ですか。

$1$ 辺の長さが $6\text{cm}$ の立方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ があります。正方形 $\mathrm{ABCD}$ が底面で、$\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CG}$, $\mathrm{DH}$ は底面に垂直な辺です。辺 $\mathrm{AE}$ 上に $\mathrm{AP}=4\text{cm}$ となる点 $\mathrm{P}$ をとります。この立方体を $3$ 点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{P}$ を通る平面で切って $2$ つの立体に分けるとき、頂点 $\mathrm{C}$ を含む方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

頂点が $\mathrm{O}$、底面の半径が $2\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。底面の円周上の点 $\mathrm{A}$ から、円錐の側面にそって糸を 1 周巻きつけて、もとの点 $\mathrm{A}$ までもどします。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さは何 $\text{cm}$ ですか。