空間図形の問題

まず斜辺 $\mathrm{AB}$ の長さを求めます。三平方の定理より
$${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BC}}^2=16+9=25$$
$\mathrm{AB}>0$ より $\mathrm{AB}=5\text{cm}$ です。

点 $\mathrm{C}$ から $\mathrm{AB}$ に垂線をひき、$\mathrm{AB}$ との交点を $\mathrm{H}$ とします。$△\mathrm{ABC}$ の面積を $2$ 通りに表すと
$$\frac{1}{2}\times \mathrm{AC}\times \mathrm{BC}=\frac{1}{2}\times \mathrm{AB}\times \mathrm{CH}$$
$$\frac{1}{2}\times 4\times 3=\frac{1}{2}\times 5\times \mathrm{CH}$$
$$6=\frac{5}{2}\mathrm{CH}$$
よって $\mathrm{CH}=\frac{12}{5}\text{cm}$ です。

$\angle \mathrm{A}$ と $\angle \mathrm{B}$ はどちらも鋭角なので、$\mathrm{H}$ は辺 $\mathrm{AB}$ 上（両端をのぞく）にあります。$\mathrm{AB}$ を軸として $1$ 回転させると、$△\mathrm{ACH}$ と $△\mathrm{BCH}$ はそれぞれ円錐になります。できる立体は、底面の半径が $\mathrm{CH}=\frac{12}{5}\text{cm}$ の円を共通の底面とし、高さが $\mathrm{AH}$ と $\mathrm{BH}$ の $2$ つの円錐を合わせた立体です。

その体積は
$$\frac{1}{3}\times \pi \times {\left(\frac{12}{5}\right)}^2\times \mathrm{AH}+\frac{1}{3}\times \pi \times {\left(\frac{12}{5}\right)}^2\times \mathrm{BH}$$
$$=\frac{1}{3}\times \pi \times {\left(\frac{12}{5}\right)}^2\times (\mathrm{AH}+\mathrm{BH})$$
$\mathrm{AH}+\mathrm{BH}=\mathrm{AB}=5$ なので
$$=\frac{1}{3}\times \pi \times \frac{144}{25}\times 5=\frac{144\times 5}{3\times 25}\pi =\frac{48}{5}\pi ({\text{cm}}^3)$$

答えは $\frac{48}{5}\pi {\text{cm}}^3$ です。

斜辺は $\mathrm{AB}=\sqrt{4^2+3^2}=5$ cm。
点 C から斜辺 AB に下ろした垂線を CH とすると、三角形 ABC の面積から $\frac{1}{2}\times 5\times \mathrm{CH}=\frac{1}{2}\times 4\times 3$ なので $\mathrm{CH}=\frac{12}{5}$ cm。
斜辺 AB を軸に回転させると、CH を半径とする円を共通の底面とする 2 つの円錐（高さが AH と BH）を合わせた立体になる。2 つの円錐の高さの和は $\mathrm{AH}+\mathrm{BH}=\mathrm{AB}=5$ cm。
体積は $\frac{1}{3}\pi \times {\left(\frac{12}{5}\right)}^2\times (\mathrm{AH}+\mathrm{BH})=\frac{1}{3}\pi \times \frac{144}{25}\times 5=\frac{48}{5}\pi$ (${\text{cm}}^3$)。
確かめ: $\mathrm{AH}=\frac{16}{5}$, $\mathrm{BH}=\frac{9}{5}$ で合計 $5$。${\mathrm{CH}}^2+{\mathrm{AH}}^2=\frac{144+256}{25}=16={\mathrm{AC}}^2$ で一致する。