空間図形の問題

三角形 $\mathrm{ABC}$ は $y$ 軸から離れているので、そのまま円錐にはなりません。大きな図形から不要な部分を引いて考えます。

直線 $\mathrm{BC}$ と $y$ 軸の交点

直線 $\mathrm{BC}$ の傾きは
$$\frac{6-0}{2-6}=-\frac{3}{2}$$
なので、直線 $\mathrm{BC}$ の式は $y=-\frac{3}{2}(x-6)$、つまり $y=-\frac{3}{2}x+9$ です。$x=0$ のとき $y=9$ なので、直線 $\mathrm{BC}$ は $y$ 軸と点 $\mathrm{D}(0,9)$ で交わります。

図形を分ける

原点を $\mathrm{O}$、点 $(0,6)$ を $\mathrm{E}$ とします。直角三角形 $\mathrm{OBD}$ は、次の $3$ つの図形に分けられます。
- 長方形 $\mathrm{OACE}$（横 $2$、縦 $6$）
- 三角形 $\mathrm{ABC}$
- 直角三角形 $\mathrm{ECD}$（$\mathrm{EC}=2$, $\mathrm{ED}=3$）

これらを $y$ 軸のまわりに回転させてできる立体は重なりません。したがって
$$(\text{求める体積})=(△\mathrm{OBD}\text{の回転体})-(\text{長方形}\mathrm{OACE}\text{の回転体})-(△\mathrm{ECD}\text{の回転体})$$

それぞれの体積

- $△\mathrm{OBD}$ の回転体は、底面の半径 $6$、高さ $9$ の円錐で
$$\frac{1}{3}\times \pi \times 6^2\times 9=108\pi$$
- 長方形 $\mathrm{OACE}$ の回転体は、底面の半径 $2$、高さ $6$ の円柱で
$$\pi \times 2^2\times 6=24\pi$$
- $△\mathrm{ECD}$ の回転体は、底面の半径 $2$、高さ $3$ の円錐で
$$\frac{1}{3}\times \pi \times 2^2\times 3=4\pi$$

よって求める体積は
$$108\pi -24\pi -4\pi =80\pi ({\text{cm}}^3)$$

三角形 ABC は A$(2,0)$, B$(6,0)$, C$(2,6)$ で、直角三角形（$\angle \mathrm{A}=90^{\circ }$、AB $=4$、AC $=6$）。辺 AC は $y$ 軸に平行で、$y$ 軸から $2$ cm はなれている。
$y$ 軸のまわりに回転させると、点 C$(2,6)$、B$(6,0)$ を通る直線 BC を母線とする円すい台（上の底面の半径 $2$、下の底面の半径 $6$、高さ $6$）から、半径 $2$、高さ $6$ の円柱をくりぬいた立体になる。
・円すい台の体積: 大きい円すい（半径 $6$、高さ $9$）から小さい円すい（半径 $2$、高さ $3$）を引く。直線 BC は $y$ 軸と点 $(0,9)$ で交わるので、大きい円すいの高さは $9$、小さい円すいの高さは $9-6=3$。
$\frac{1}{3}\pi \times 6^2\times 9-\frac{1}{3}\pi \times 2^2\times 3=108\pi -4\pi =104\pi$。
・円柱の体積: $\pi \times 2^2\times 6=24\pi$。
求める体積は $104\pi -24\pi =80\pi$ (${\text{cm}}^3$)。
確かめ: 直線 BC は傾き $-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$ で、$x=0$ のとき $y=9$。$y$ が $0$ から $6$ のとき、三角形の $x$ の幅は $2$ から $6-\frac{2}{3}y$ までで、$y=6$ で幅 $0$ になることからも整合する。