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回転体の体積

三角形・台形などの図形を直線（座標軸や斜辺など）のまわりに 1 回転させてできる立体を、円柱・円錐・円錐台の組み合わせや差として考え、体積を求められる

前提

• 回転体の体積 （算数 立体図形）
• 相似な立体の体積比 （中学数学 相似と三平方の定理）
• 三平方の定理 （中学数学 相似と三平方の定理）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 回転の軸をはっきりさせ、図形の各頂点から軸へ垂線を引いて、軸からの距離（＝回転してできる円の半径）を求める

2. 垂線で図形を区切り、各部分が回転してできる立体が円柱・円錐・円錐台のどれかを見きわめる（空洞がある場合や、大きな立体から小さな立体をひいた形と見られる場合も確かめる）

3. 必要な長さを求める。斜めの長さは三平方の定理 $a^2+b^2=c^2$、円錐台の切り落とした部分の高さは相似の比、斜辺への垂線は面積の 2 通りの表し方を使う

4. 各立体の体積を求める。円柱は $\pi r^{2}h$、円錐は $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$、円錐台は（大きい円錐）−（小さい円錐）

5. 体積をたしたりひいたりして答えを出し、$\pi$ を使った形で整理する

例題

よくある誤り

• 斜辺を軸に回すのに、直角をはさむ辺 $3$ や $4$ を半径や高さにして、1 つの円錐 $\frac{1}{3}\pi \times 3^2\times 4=12\pi$ としてしまう誤り。正しくは半径は $C$ から軸への距離 $\frac{12}{5}$ で、2 つの円錐の和 $\frac{1}{3}\pi \times {\left(\frac{12}{5}\right)}^2\times 5=\frac{48}{5}\pi$

• 円錐の体積で $\frac{1}{3}$ をかけ忘れる誤り。底面の半径 $3$、高さ $4$ の円錐を $\pi \times 3^2\times 4=36\pi$ としてしまう。正しくは $\frac{1}{3}\pi \times 3^2\times 4=12\pi$

• 円錐台を、上下の底面の円の面積の平均を底面積とする円柱として計算してしまう誤り。台形の面積が（上底＋下底）× 高さ ÷ 2 で求められることからつい同じように考えがちだが、円錐台ではこれは成り立たない。上の半径 $1$、下の半径 $2$、高さ $3$ の円錐台を $\frac{\pi \times 1^2+\pi \times 2^2}{2}\times 3=\frac{15}{2}\pi$ としてしまう。正しくは、切り落とした円錐をもどすと相似比 $1:2$ より全体の高さは $6$、小さい円錐の高さは $3$ なので、$\frac{1}{3}\pi \times 2^2\times 6-\frac{1}{3}\pi \times 1^2\times 3=8\pi -\pi =7\pi$

• 軸から離れた図形を回すとき、空洞の分をひき忘れる誤り。軸に平行な辺の長さが $4$ で、軸からの距離が $2$ から $3$ までの長方形を軸のまわりに回すとき、半径 $3$、高さ $4$ の円柱 $\pi \times 3^2\times 4=36\pi$ としてしまう。正しくは中に半径 $2$、高さ $4$ の円柱の空洞ができるので、$36\pi -\pi \times 2^2\times 4=36\pi -16\pi =20\pi$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  台形 $\mathrm{ABCD}$ は、$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}=90^{\circ }$、$\mathrm{AD}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=6\text{cm}$、$\mathrm{CD}=3\text{cm}$ です。この台形を、辺 $\mathrm{BC}$ をふくむ直線を軸として 1 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。円周率は $\pi$ を使って答えなさい。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$4\text{cm}$$6\text{cm}$$3\text{cm}$

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  台形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ }$、$\mathrm{AB}=4\text{cm}$、$\mathrm{AD}=3\text{cm}$、$\mathrm{BC}=6\text{cm}$ です。

  この台形を、直線 $\mathrm{BC}$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$4 cm3 cm6 cm

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  $\angle \mathrm{C}=90^{\circ }$、$\mathrm{AC}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=3\text{cm}$ の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ があります。この三角形を、斜辺 $\mathrm{AB}$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$4\text{cm}$$3\text{cm}$

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  平行四辺形 $ABCD$ があり、$AB=5\text{cm}$、$BC=6\text{cm}$、$\angle ABC$ は鋭角で、$2$ 直線 $AD$ と $BC$ の距離は $4\text{cm}$ です。頂点は $A,B,C,D$ の順に並んでいます。この平行四辺形を、直線 $BC$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

  $A$$B$$C$$D$$5\text{cm}$$6\text{cm}$$4\text{cm}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  座標平面上に $3$ 点 $\mathrm{A}(2,0)$, $\mathrm{B}(6,0)$, $\mathrm{C}(2,6)$ があります。三角形 $\mathrm{ABC}$ を、$y$ 軸を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。ただし、座標の $1$ 目もりを $1\text{cm}$ とします。

  $\mathrm{A}(2,0)$$\mathrm{B}(6,0)$$\mathrm{C}(2,6)$$x$$y$$\mathrm{O}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  $1$ 辺の長さが $6\text{cm}$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ があります。頂点 $\mathrm{A}$ を通り、辺 $\mathrm{BC}$ に平行な直線を $\ell$ とします。正三角形 $\mathrm{ABC}$ を、直線 $\ell$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\ell$$6\text{cm}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  $1$ 辺の長さが $4\text{cm}$ の正方形 $ABCD$ があります。頂点 $A$ を通り、対角線 $AC$ に垂直な直線を $\ell$ とします（直線 $\ell$ は対角線 $BD$ に平行で、正方形とは点 $A$ だけを共有します）。正方形 $ABCD$ を、直線 $\ell$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\ell$$4\text{cm}$