空間図形の問題

頂点 $A$, $D$ から直線 $BC$ に垂線をひき、直線 $BC$ との交点をそれぞれ $H$, $K$ とします。$AH=DK=4\text{cm}$ です。

$△ABH$ は $\angle AHB=90^{\circ }$ の直角三角形なので、三平方の定理より
$$B{H}^2=A{B}^2-A{H}^2=5^2-4^2=9,BH=3(\text{cm})$$
$\angle ABC$ は鋭角なので、$H$ は $B$ から見て $C$ と同じ向きにあります。さらに $BH=3<BC=6$ なので、$H$ は辺 $BC$ 上にあり、$HC=6-3=3\text{cm}$ です。また $△DCK\equiv △ABH$ なので $CK=3\text{cm}$ で、$K$ は辺 $BC$ を $C$ の側にのばした直線上にあります。

平行四辺形 $ABCD$ は、次のように $3$ つの部分に分けられます。
- $△ABH$
- 長方形 $AHCE$（$E$ は線分 $AD$ 上の $AE=3\text{cm}$ の点）
- 長方形 $ECKD$ から $△DCK$ を除いた部分

これを直線 $BC$ のまわりに $1$ 回転させると
- $△ABH$ → 底面の半径 $4\text{cm}$、高さ $3\text{cm}$ の円錐
- 長方形 $AHCE$ → 底面の半径 $4\text{cm}$、高さ $3\text{cm}$ の円柱
- 長方形 $ECKD$ から $△DCK$ を除いた部分 → 底面の半径 $4\text{cm}$、高さ $3\text{cm}$ の円柱から、それと底面・高さが同じ円錐をくりぬいた立体

よって、求める体積は
$$(\text{円錐})+(\text{円柱})+(\text{円柱})-(\text{円錐})=2\times (\pi \times 4^2\times 3)$$
$$=2\times 48\pi =96\pi ({\text{cm}}^3)$$

（$△ABH$ を $△DCK$ の位置に移すと長方形 $AHKD$ になることから、底面の半径 $4\text{cm}$、高さ $6\text{cm}$ の円柱の体積 $\pi \times 4^2\times 6=96\pi$ と同じになる、と考えることもできます。）

$A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $E$、$D$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $F$ とする。$AE=DF=4$、$AB=5$ なので、三平方の定理より $BE=\sqrt{5^2-4^2}=3$。$\angle ABC$ が鋭角なので $E$ は $B$ から $C$ の向きに $3\text{cm}$ の点にある。$BC=6$ より $E$ は線分 $BC$ 上にあり、$AD\parallel BC$、$AD=6$ なので $F$ は $E$ から $6\text{cm}$ 先、つまり $BF=9$、$CF=3$ である。

平行四辺形 $ABCD$ は、長方形 $AEFD$ に直角三角形 $ABE$ を加え、直角三角形 $DCF$ を取り除いたものである（$△ABE$ は長方形の外側、$△DCF$ は長方形の内側にあり重ならない）。

• 長方形 $AEFD$ を回転させた立体は、底面の半径 $4$、高さ $6$ の円柱で、体積は $\pi \times 4^2\times 6=96\pi$。
• $△ABE$ を回転させた円錐は、底面の半径 $4$、高さ $3$ で、体積は $\frac{1}{3}\pi \times 4^2\times 3=16\pi$。
• $△DCF$ を回転させた円錐は、底面の半径 $4$、高さ $CF=3$ で、体積は $16\pi$。

よって体積は $96\pi +16\pi -16\pi =96\pi$ ${\text{cm}}^3$。

検算：軸からの距離が $y$ の点の集まりは、どの $y$（$0\le y\le 4$）でも軸方向の長さ $6$ の線分なので、体積は $\int$ を使わずに考えても、半径 $4$・高さ $6$ の円柱と同じ $96\pi$ になる（パップスの定理でも $24\times 2\pi \times 2=96\pi$）。