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相似と三平方の定理の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学数学相似と三平方の定理

底面が $1$ 辺 $8 cm$ の正方形 $A B C D$ で、側面の辺 $O A, O B, O C, O D$ の長さがすべて $9 cm$ である正四角錐 $O A B C D$ がある。この正四角錐の体積を求めよ。

A

B

C

D

O

8 cm8 cm9 cm

この問題で使うもの

三平方の定理と空間図形（説明と入口の問題）
三平方の定理（説明と入口の問題）
角すい・円すいの体積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（16 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

体積を求めるには高さが必要である。頂点 $O$ から底面に垂線をひくと、その足は底面の対角線の交点 $H$ になる。

ヒント 2

直角三角形 $O A H$ に三平方の定理を使う。そのために、まず $A H$ （対角線 $A C$ の半分）を求めよう。

ヒント 3

$A C = 82 cm$ より $A H = 42 cm$ 。 $O H^{2} = 9^{2} - (42)^{2}$ から高さを求め、角錐の体積の公式 $\frac{1}{3} \times 底面積 \times 高さ$ を使おう。

答えと解説

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\frac{448}{3}

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解説を読む

底面の正方形 $A B C D$ の対角線の交点を $H$ とする。正四角錐なので、頂点 $O$ から底面にひいた垂線は $H$ を通り、 $O H$ が高さになる。

底面の対角線の長さ
$△ A B C$ は $∠ A B C = 9 0^{\circ}$ の直角二等辺三角形なので、三平方の定理より
$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 8^{2} + 8^{2} = 128$
$A C > 0$ より $A C = 128 = 82 cm$ 。 $H$ は $A C$ の中点なので
$A H = 42 cm$

高さ $O H$
$△ O A H$ は $∠ O H A = 9 0^{\circ}$ の直角三角形なので、三平方の定理より
$O H^{2} = O A^{2} - A H^{2} = 9^{2} - (42)^{2} = 81 - 32 = 49$
$O H > 0$ より $O H = 7 cm$ 。

体積
底面積は $8 \times 8 = 64 cm^{2}$ なので、体積は
$\frac{1}{3} \times 64 \times 7 = \frac{448}{3} (cm^{3})$

答え: $\frac{448}{3} cm^{3}$

別解

頂点 $O$ から底面に下ろした垂線の足は正方形 $A B C D$ の中心 $H$ （4辺の長さが等しいので $H A = H B = H C = H D$ ）。底面の対角線は $82$ なので $A H = 42$ 。直角三角形 $O A H$ で $O H = 9^{2} - (42)^{2} = 81 - 32 = 7$ 。体積は $\frac{1}{3} \times 8^{2} \times 7 = \frac{448}{3}$ 。検算: $\frac{1}{3} \times 64 \times 7 = \frac{448}{3} \approx 149.3$ 。

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