相似と三平方の定理の問題

相似比を求める

小さい正四角錐ともとの正四角錐は相似である。体積の比は
$$(\text{小さい正四角錐}):(\text{もとの正四角錐})=1:(1+7)=1:8=1^3:2^3$$
相似な立体の体積比は相似比の $3$ 乗だから、相似比は $1:2$ である。

もとの正四角錐の側面積

頂点を $O$、底面の正方形の中心を $H$、底面の $1$ 辺 $AB$ の中点を $M$ とする。$OH=8$、$HM=12÷2=6$ で、$\angle OHM=90^{\circ }$ だから、三平方の定理より
$$O{M}^2=8^2+6^2=100,OM=10(\text{cm})$$
$OM$ は側面の二等辺三角形 $OAB$ の高さである。よって、もとの正四角錐の側面積は
$$4\times \frac{1}{2}\times 12\times 10=240({\text{cm}}^2)$$

四角錐台の側面積

小さい正四角錐の側面積は、相似比 $1:2$ より面積比が $1^2:2^2=1:4$ だから
$$240\times \frac{1}{4}=60({\text{cm}}^2)$$
四角錐台の側面は、もとの正四角錐の側面から小さい正四角錐の側面を除いた部分だから
$$240-60=180({\text{cm}}^2)$$

小さい正四角錐と残りの体積の比が $1:7$ なので、小さい正四角錐と元の正四角錐の体積比は $1:8=1^3:2^3$。相似比は $1:2$。
切り口の正方形の 1 辺は $12\times \frac{1}{2}=6\text{cm}$、小さい正四角錐の高さは $4\text{cm}$。
元の正四角錐の側面の二等辺三角形の高さ（斜高）は、底面の中心から辺の中点までが $6\text{cm}$、高さが $8\text{cm}$ なので $\sqrt{6^2+8^2}=10\text{cm}$。小さい正四角錐の斜高は $5\text{cm}$。したがって四角錐台の側面の台形の高さは $10-5=5\text{cm}$。台形は上底 $6\text{cm}$、下底 $12\text{cm}$ なので面積は $\frac{1}{2}(6+12)\times 5=45{\text{cm}}^2$。側面積は $45\times 4=180{\text{cm}}^2$。
検算: 元の側面積 $4\times \frac{1}{2}\times 12\times 10=240$、小さい方は $4\times \frac{1}{2}\times 6\times 5=60$、差は $240-60=180$ で一致する。