相似と三平方の定理の問題

もとの円錐の体積は
$$\frac{1}{3}\times \pi \times 6^2\times 9=108\pi ({\text{cm}}^3)$$
です。

頂点に近いほうの平面で切り取られる、頂点をふくむ小さい円錐を円錐 $P$、もう一方の平面で切り取られる、頂点をふくむ円錐を円錐 $Q$ とします。円錐 $P$、円錐 $Q$、もとの円錐は相似で、高さの比は
$$3:6:9=1:2:3$$
なので、相似比は $1:2:3$ です。

相似な立体の体積比は相似比の $3$ 乗の比なので、体積比は
$$1^3:2^3:3^3=1:8:27$$
です。

真ん中の立体は、円錐 $Q$ から円錐 $P$ を取り除いた部分なので、その体積はもとの円錐の体積の
$$\frac{8-1}{27}=\frac{7}{27}$$
です。

したがって、真ん中の立体の体積は
$$108\pi \times \frac{7}{27}=28\pi ({\text{cm}}^3)$$
です。

もとの円錐の体積は $\frac{1}{3}\times \pi \times 6^2\times 9=108\pi$ (${\text{cm}}^3$) です。

高さを 3 等分する点を通る平面で切ると、一番上の小さい円錐は、もとの円錐と相似で相似比が $1:3$ です（高さ $3\text{cm}$）。体積比は相似比の 3 乗なので $1:27$。よって一番上の円錐の体積は $108\pi \times \frac{1}{27}=4\pi$ (${\text{cm}}^3$) です。

上から 2 つ分（高さ $6\text{cm}$）の円錐も、もとの円錐と相似で相似比が $2:3$ です。体積比は $8:27$ なので、体積は $108\pi \times \frac{8}{27}=32\pi$ (${\text{cm}}^3$) です。

真ん中の立体の体積は $32\pi -4\pi =28\pi$ (${\text{cm}}^3$) です。

確かめ: 一番下の立体は $108\pi -32\pi =76\pi$。体積比は $4\pi :28\pi :76\pi =1:7:19$ で、$1:(8-1):(27-8)$ と一致します。