空間図形の問題

立方体を $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ とし、正方形 $\mathrm{ABCD}$ を底面、$\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CG}$, $\mathrm{DH}$ を側面の辺とします。

立方体は、その中心（対角線 $\mathrm{AG}$ の中点）について対称なので、中心から $8$ 個の頂点までの距離はすべて等しくなります。よって、求める球の中心は立方体の中心で、球の直径は立方体の対角線 $\mathrm{AG}$ の長さに等しくなります。

まず、底面の正方形 $\mathrm{ABCD}$ の対角線 $\mathrm{AC}$ を求めます。$△\mathrm{ABC}$ は $\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ }$ の直角三角形なので、三平方の定理より
$${\mathrm{AC}}^2=4^2+4^2=32$$

次に、$\mathrm{CG}$ は底面に垂直なので、$△\mathrm{ACG}$ は $\angle \mathrm{ACG}=90^{\circ }$ の直角三角形です。三平方の定理より
$${\mathrm{AG}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{CG}}^2=32+16=48$$
$\mathrm{AG}>0$ より
$$\mathrm{AG}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}(\text{cm})$$

したがって、球の半径は
$$4\sqrt{3}÷2=2\sqrt{3}(\text{cm})$$

球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ なので
$$\frac{4}{3}\pi \times (2\sqrt{3}{)}^3$$
ここで $(2\sqrt{3}{)}^3=2^3\times (\sqrt{3}{)}^3=8\times 3\sqrt{3}=24\sqrt{3}$ なので
$$\frac{4}{3}\pi \times 24\sqrt{3}=32\sqrt{3}\pi ({\text{cm}}^3)$$

答えは $32\sqrt{3}\pi {\text{cm}}^3$ です。

8 個の頂点を通る球の直径は、立方体の対角線の長さに等しい（球の中心は立方体の中心）。
立方体の対角線の長さは、$1$ 辺 $4$ cm の正方形の対角線 $4\sqrt{2}$ cm と辺 $4$ cm からできる直角三角形に三平方の定理を使って、$\sqrt{(4\sqrt{2}{)}^2+4^2}=\sqrt{32+16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ cm。
半径は $2\sqrt{3}$ cm。
体積は $\frac{4}{3}\pi \times (2\sqrt{3}{)}^3=\frac{4}{3}\pi \times 24\sqrt{3}=32\sqrt{3}\pi$ (${\text{cm}}^3$)。
確かめ: $(2\sqrt{3}{)}^3=8\times 3\sqrt{3}=24\sqrt{3}$。中心から頂点までの距離は $\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ で半径と一致する。