相似と三平方の定理の問題

糸は面 $ABFE$ と面 $BCGF$ の上を通るので、この $2$ つの面を辺 $BF$ でつないだまま、同じ平面上に開いた展開図で考える。

展開図では、長方形 $ABFE$（横 $AB=6$, 縦 $BF=3$）と長方形 $BCGF$（横 $BC=4$, 縦 $CG=3$）が辺 $BF$ で並び、$A$, $B$, $C$ は一直線上にある。このとき $AP+PG$ がもっとも短くなるのは、$P$ が線分 $AG$ と $BF$ の交点になるとき、つまり糸が展開図上で線分 $AG$ になるときである。

展開図の $△ACG$ は $\angle ACG=90^{\circ }$ の直角三角形で
$$AC=AB+BC=6+4=10(\text{cm}),CG=3(\text{cm})$$
三平方の定理より
$$A{G}^2=A{C}^2+C{G}^2=10^2+3^2=100+9=109$$
$AG>0$ だから
$$AG=\sqrt{109}(\text{cm})$$

なお、このとき $BP:CG=AB:AC=6:10$ より $BP=\frac{9}{5}\text{cm}$ で、$0<\frac{9}{5}<3$ だから $P$ は確かに辺 $BF$ 上にある。

よって、糸の長さの最小値は $\sqrt{109}\text{cm}$ である。

面 $ABFE$ と面 $BCGF$ は辺 $BF$ を共有している。この 2 つの面を辺 $BF$ で同一平面上に開いた展開図を考える。展開図では長方形 $ABFE$ と長方形 $BCGF$ が横に並び、$A$ から $G$ までの横方向の距離は $AB+BC=6+4=10\text{cm}$、縦方向（$BF$ に平行な方向）の差は、$A$ は下端、$G$ は上端にあるので $AE=3\text{cm}$。糸が最短になるのは展開図で $A$ と $G$ を直線で結んだときで、$A{G}^2=10^2+3^2=109$ より $AG=\sqrt{109}$。この直線が辺 $BF$ と交わる位置は、$B$ から $3\times \frac{6}{10}=1.8\text{cm}$ の点で、$0\le 1.8\le 3$ なので辺 $BF$ 上にあり、$P$ としてよい。よって最短の長さは $\sqrt{109}\text{cm}$。検算: $AP=\sqrt{6^2+1.8^2}=\sqrt{39.24}$、$PG=\sqrt{4^2+1.2^2}=\sqrt{17.44}$、$\sqrt{39.24}+\sqrt{17.44}\approx 6.264+4.176=10.440$、$\sqrt{109}\approx 10.440$ で一致する。