相似と三平方の定理の問題

$△ABC$ の辺 $AB$ 上に $AD:DB=2:1$ となる点 $D$ を、辺 $BC$ 上に $BE:EC=3:1$ となる点 $E$ をとります。線分 $AE$ と線分 $CD$ の交点を $P$ とします。$AE=18\text{cm}$ のとき、線分 $AP$ の長さは何 $\text{cm}$ か求めなさい。

$AB=10\text{cm}$、$AC=8\text{cm}$ の $△ABC$ があります。辺 $BC$ の中点を $M$ とします。点 $M$ を通り辺 $AC$ に平行な直線と辺 $AB$ との交点を $L$、点 $M$ を通り辺 $AB$ に平行な直線と辺 $AC$ との交点を $N$ とします。このとき、四角形 $ALMN$ の周の長さは何 $\text{cm}$ か求めなさい。

$AD\parallel BC$、$AD=5\text{cm}$、$BC=15\text{cm}$ の台形 $ABCD$ がある。辺 $AB$ 上に $AE:EB=3:2$ となる点 $E$ をとり、点 $E$ を通り辺 $BC$ に平行な直線をひく。この直線と対角線 $BD$ との交点を $P$、対角線 $AC$ との交点を $Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さは何 $\text{cm}$ か求めよ。

面積が $60{\text{cm}}^2$ の平行四辺形 $ABCD$ がある。辺 $BC$ 上に $BE:EC=2:1$ となる点 $E$ をとり、辺 $CD$ の中点を $F$ とする。線分 $AE$ と線分 $BF$ の交点を $P$、線分 $AE$ と対角線 $BD$ の交点を $Q$ とする。このとき、$△BPQ$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。

$AB=6\text{cm}$、$BC=8\text{cm}$ の長方形 $ABCD$ がある。辺 $AD$ の中点を $M$ とする。この長方形を、頂点 $B$ が点 $M$ に重なるように $1$ 本の直線を折り目として折る。折り目の直線と辺 $AB$ との交点を $P$、辺 $BC$ との交点を $Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さは何 $\text{cm}$ か求めよ。