相似と三平方の定理の問題

直線 $\ell$ 上に異なる $2$ 点 $B$, $D$ があります。直線 $\ell$ について同じ側に $2$ 点 $A$, $C$ を、$AB\perp \ell$、$CD\perp \ell$、$AB=12\text{cm}$、$CD=6\text{cm}$ となるようにとります。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $E$ とし、点 $E$ から直線 $\ell$ に垂線をひき、直線 $\ell$ との交点を $F$ とします。このとき、線分 $EF$ の長さは何 $\text{cm}$ か求めなさい。

面積が $60{\text{cm}}^2$ の平行四辺形 $ABCD$ がある。辺 $BC$ 上に $BE:EC=2:1$ となる点 $E$ をとり、辺 $CD$ の中点を $F$ とする。線分 $AE$ と線分 $BF$ の交点を $P$、線分 $AE$ と対角線 $BD$ の交点を $Q$ とする。このとき、$△BPQ$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。

面積が $48{\text{cm}}^2$ の $△ABC$ がある。辺 $BC$ の中点を $M$ とし、辺 $AC$ 上に $AD:DC=1:2$ となる点 $D$ をとる。線分 $AM$ と線分 $BD$ の交点を $P$ とするとき、四角形 $PMCD$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。

$AD\parallel BC$、$AD=5\text{cm}$、$BC=15\text{cm}$ の台形 $ABCD$ がある。辺 $AB$ 上に $AE:EB=3:2$ となる点 $E$ をとり、点 $E$ を通り辺 $BC$ に平行な直線をひく。この直線と対角線 $BD$ との交点を $P$、対角線 $AC$ との交点を $Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さは何 $\text{cm}$ か求めよ。

$△ABC$ の面積は $55{\text{cm}}^2$ である。辺 $BC$ 上に点 $D$ を $BD:DC=3:2$ となるようにとり、辺 $AC$ 上に点 $E$ を $AE:EC=1:2$ となるようにとる。線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $P$ とするとき、$△ABP$ の面積を求めよ。