相似と三平方の定理の問題

長さの単位を $\text{cm}$ として、座標を使って考えます。

点 $A$ の座標を求める

$B(0,0)$、$C(14,0)$ となるように座標をとり、点 $A$ を $A(p,q)$（$q>0$）とします。

点 $A$ から $x$ 軸に垂線をひくと、三平方の定理より
$$A{B}^2=p^2+q^2=169\cdots (1)$$
$$A{C}^2=(p-14{)}^2+q^2=225\cdots (2)$$
$(2)-(1)$ より
$$(p-14{)}^2-p^2=56$$
$$-28p+196=56$$
$$p=5$$
$(1)$ に代入して $q^2=169-25=144$、$q>0$ なので $q=12$ です。よって $A(5,12)$ です。

中心 $O$ の座標を求める

$O$ は外接円の中心なので $OA=OB=OC$ です。$OB=OC$ より、$O$ は辺 $BC$ の垂直二等分線、つまり直線 $x=7$ 上にあります。そこで $O(7,k)$ とおきます。

三平方の定理より
$$O{B}^2=7^2+k^2=49+k^2$$
$$O{A}^2=(7-5{)}^2+(k-12{)}^2=4+k^2-24k+144=k^2-24k+148$$
$OA=OB$ より $O{A}^2=O{B}^2$ なので
$$k^2-24k+148=49+k^2$$
$$-24k=-99$$
$$k=\frac{33}{8}$$

半径を求める

半径は $OB$ なので
$$O{B}^2=49+{\left(\frac{33}{8}\right)}^2=\frac{3136}{64}+\frac{1089}{64}=\frac{4225}{64}$$
$OB>0$ で、$4225=65^2$ なので
$$OB=\frac{65}{8}(\text{cm})$$

$B$ を原点、$BC$ を $x$ 軸上にとり $B(0,0)$, $C(14,0)$ とする。$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$、$BH=x$ とすると、$A{H}^2=13^2-x^2=15^2-(14-x{)}^2$。$169-x^2=225-196+28x-x^2$ より $169=29+28x$、$x=5$。$AH=\sqrt{169-25}=12$。よって $A(5,12)$。外心 $O$ は $BC$ の垂直二等分線 $x=7$ 上にあるので $O(7,y)$ とおく。$OB=OA$ より $49+y^2=(5-7{)}^2+(12-y{)}^2=4+144-24y+y^2$。$24y=99$、$y=\frac{33}{8}$。半径 $O{B}^2=49+\frac{1089}{64}=\frac{4225}{64}$、$OB=\frac{65}{8}\text{cm}$。検算: $O{C}^2=(14-7{)}^2+y^2$ で $OB$ と等しい。また $O{A}^2=4+(12-\frac{33}{8}{)}^2=4+(\frac{63}{8}{)}^2=\frac{256+3969}{64}=\frac{4225}{64}$ で一致する。