頂点が 、底面の半径が 、母線の長さが の円錐があります。底面の円周上の点 から、円錐の側面にそって糸を 1 周巻きつけて、もとの点 までもどします。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さは何 ですか。
円錐の側面にそった最短経路
底面の円周上の点から円錐の側面にそって糸を 1 周巻きつけるときの最短の長さを、側面の展開図（おうぎ形）の中心角を求めてから、おうぎ形の弦の長さとして求められる（中心角が 、 などの場合）
前提
- 円錐の展開図と側面積 （中学数学 空間図形）
- 立体の表面上の最短経路 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 特別な直角三角形の辺の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
この技能までの道筋（19 技能）
読み込み中…
右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
一覧で見る（前提が先）
- 直方体・立方体の表面積 （算数 立体図形）
- 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
- 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 円の周の長さと面積 （算数 平面図形）
- 角柱・円柱の表面積 （算数 立体図形）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
- おうぎ形の弧の長さと面積 （算数 平面図形）
- 弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める （中学数学 平面図形）
- 円錐の展開図と側面積 （中学数学 空間図形）
- 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
- 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
- 平方根の意味と根号の簡単化 （中学数学 数と式）
- 三平方の定理 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 立体の表面上の最短経路 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 特別な直角三角形の辺の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
説明
円錐の底面の円周上の点 から、側面にそって糸を 1 周巻きつけて にもどるときの糸の最短の長さを求めます。側面を母線 （ は円錐の頂点）で切り開くと展開図はおうぎ形になり、最短の糸はそのおうぎ形の両端の点を結ぶ線分（弦）になります。中心角が や のときは、直角二等辺三角形や の三角形の辺の比を使って弦の長さが求められます。
なぜそうしてよいのか
立体の表面にそった最短経路は、表面を平面に切り開いたときの線分になる、というのが基本の考え方です。円錐の側面を、点 を通る母線 で切り開くと、半径が母線の長さ 、中心角が のおうぎ形になります。このとき点 は、おうぎ形の弧の両端の 2 点 、 に分かれて現れます。
糸を 1 周巻きつけて にもどる経路は、展開図の上では から までおうぎ形の中を通る線になります。2 点を結ぶ線でいちばん短いのは線分なので、最短の長さは弦 の長さです。ただし、線分 がおうぎ形の中に入っている必要があり、それは中心角が より小さいときです（このページではその場合だけを扱います）。
三角形 は の二等辺三角形です。中心角が なら直角二等辺三角形なので です。中心角が なら、 から に垂線 を引くと、三角形 は 、 の直角三角形になり、 より 、 です。
手順
底面の半径 と母線の長さ を確かめる
糸が出発する点 を通る母線で切り開いた展開図を考え、中心角 を求める
展開図で が弧の両端 、 に分かれることを確かめ、最短経路は線分 （中心角が より小さいとき）と考える
二等辺三角形 で、中心角が なら 、 なら頂点 から垂線を引き の三角形の比を使って を求める
例題
頂点を とし、底面の半径が cm、母線の長さが cm の円錐がある。底面の円周上の点 から、側面にそって糸を 1 周巻きつけて再び までもどる。このときの糸の長さが最も短くなるときの長さは何 cm か。
例題の解答
手順 1：、 である。
手順 2：母線 で切り開いた側面の展開図は、半径 cm のおうぎ形で、中心角は 。
手順 3：展開図で点 は弧の両端 、 に分かれる。中心角は より小さいので、最短の糸は線分 である。
手順 4：三角形 は 、 の二等辺三角形。 から に垂線 を引くと、 は の中点で、。三角形 は の直角三角形なので 、。よって cm。
答え： cm
答え:
よくある誤り
中心角の計算で割合を逆にしてしまう誤り。、 で としてしまう。正しくは
最短経路を展開図の弧（底面の円周）の長さとしてしまう誤り。上の例で としてしまう。正しくは弧ではなく弦 の長さで （）
中心角 の弦で辺の比を取りちがえる誤り。 を の半分の として としてしまう。 の半分になるのは の角に向かい合う辺ではなく の角に向かい合う のほうで、正しくは 、
中心角 のときの弦を や にしてしまう誤り。、中心角 なら三角形 は直角二等辺三角形なので、正しくは
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
底面の半径が 、母線の長さが の円錐があります。底面の円周上に点 をとります。点 から円錐の側面にそって糸を 周巻きつけ、再び点 まで戻します。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さは何 ですか。
頂点を とし、底面の半径が 、母線の長さが の円錐があります。底面の円周上の点を とし、母線 の中点を とします。点 から円錐の側面にそって 周するように糸をかけ、点 まで張ります。糸の長さがもっとも短くなるとき、その長さは何 か求めなさい。
円錐を底面に平行な平面で切り、頂点をふくむ方の円錐を取り除いた立体（円錐台）があります。この立体の下の底面の半径は 、上の底面の半径は 、母線の長さ（側面上で、下の底面の円周から上の底面の円周までまっすぐのびた線分の長さ）は です。下の底面の円周上の点 から、側面にそって糸をちょうど 周かけて、ふたたび点 まで張ります。糸の長さがもっとも短くなるとき、その長さは何 か求めなさい。