底面の半径が 2 cm、高さが 5 cm の円柱があります。この円柱の表面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。
2 cm5 cm
角柱・円柱の表面積
展開図を考えて、底面積 × 2 + 側面積（底面のまわりの長さ × 高さ）で角柱・円柱の表面積を求められる
前提
- 直方体・立方体の表面積 （算数 立体図形）
- 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
- 円の周の長さと面積 （算数 平面図形）
この技能までの道筋（5 技能）
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一覧で見る（前提が先）
- 直方体・立方体の表面積 （算数 立体図形）
- 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
- 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 円の周の長さと面積 （算数 平面図形）
説明
角柱や円柱のすべての面の面積の合計（表面積）を求めます。展開図を考えると、角柱・円柱の表面は「同じ形の底面 2 つ」と「1 つの長方形にまとまる側面」に分けられるので、表面積は 底面積 × 2 + 側面積 で求められます。側面積は、底面のまわりの長さ × 高さ です。缶にはるラベルの大きさや、箱をつくるのに必要な紙の量を求めるときに使います。
なぜそうしてよいのか
角柱や円柱の表面を切り開いて平らにした図（展開図）を考えます。上と下の底面は同じ形・同じ大きさなので、その面積は 底面積 × 2 です。
残りの側面は、たとえば三角柱なら 3 つの長方形で、どれもたての長さが柱の高さです。この 3 つを横につなげると 1 つの大きな長方形になり、その横の長さは底面の三角形の 3 辺をつなげた長さ、つまり底面のまわりの長さになります。だから側面積は 底面のまわりの長さ × 高さ です。
円柱の側面も、缶のラベルをはがして広げるように切り開くと長方形になります。この長方形の横の長さは、底面の円のまわりをぐるっと一周していた長さなので、円周（直径 × 3.14）と同じです。だから円柱の側面積も 円周 × 高さ で求められます。直方体の表面積で、まわりの 4 つの面をまとめて（たて + 横 + たて + 横）× 高さ と計算できるのも同じ理由です。
手順
底面の形と、柱の高さ（2 つの底面のあいだの長さ）を読み取る
底面積を求めて 2 倍する
底面のまわりの長さを求める（角柱なら底面の辺の長さの和、円柱なら 直径 × 3.14）
側面積 = 底面のまわりの長さ × 高さ を計算する
表面積 = 底面積 × 2 + 側面積 を計算する
例題
底面の円の半径が 2 cm、高さが 5 cm の円柱の表面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。
例題の解答
手順 1: 底面は半径 2 cm の円、高さは 5 cm です。
手順 2: 底面積は (cm²) で、2 つ分は (cm²) です。
手順 3: 底面のまわりの長さは円周で、直径は cm なので、 (cm) です。
手順 4: 側面積は (cm²) です。
手順 5: 表面積は (cm²) です。
答え:
よくある誤り
底面を 1 つ分しかたさない誤り（例: ）。底面は上と下に 2 つあるので、正しくは
円柱の側面の横の長さを、円周ではなく直径や半径にしてしまう誤り（例: ）。側面を開いた長方形の横の長さは円周なので、正しくは
円周を 半径 × 3.14 で計算してしまう誤り（例: ）。円周は 直径 × 3.14 なので、正しくは
角柱の側面積で、底面のまわりの長さではなく 1 辺の長さだけに高さをかけてしまう誤り（例: 底面が 3 cm, 4 cm, 5 cm の三角形で高さ 10 cm のとき ）。正しくは
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
底面が直角三角形の三角柱があります。底面の直角三角形は、直角をはさむ つの辺の長さが cm と cm で、残りの辺の長さが cm です。また、この三角柱の高さは cm です。この三角柱の表面積は何 cm² ですか。
8 cm10 cm6 cm12 cm底面が台形で、高さが 8 cm の四角柱があります。底面の台形 ABCD は、辺 AD と辺 BC が平行で、AD = 4 cm、BC = 10 cm、AB = 5 cm、DC = 5 cm です。また、この台形の高さ（辺 AD と辺 BC の間のきょり）は 4 cm です。
この四角柱の表面積は何 cm² ですか。
4 cm10 cm5 cm5 cm8 cm4 cm底面の半径が 、高さが の円柱があります。この円柱から、円柱の上の底面を底面とし、下の底面の中心を頂点とする円錐をくりぬきました。残った立体の表面積は何 か求めなさい。ただし、円周率は とします。
底面の半径が 5 cm、高さが 10 cm の円柱から、底面の円と中心が同じで半径が 3 cm の円を底面とする円柱の形の穴を、上の底面から下の底面まで、まっすぐにくりぬきました。こうしてできた、つつのような形の立体があります。
この立体の表面積（穴の内側の面もふくみます）は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。
5 cm3 cm10 cm底面の円の半径が 6 cm、高さが 10 cm の円柱を、2 つの底面の円の中心を結ぶ線をふくむ 2 つの平面で切って、もとの円柱のちょうど 4 分の 1 の大きさの立体を切り取りました。この立体の底面は、半径 6 cm、中心角 90° のおうぎ形で、高さは 10 cm です。
この立体の表面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。
6 cm10 cm
この技能の次に学べること
- 円錐の展開図と側面積 （中学数学 空間図形）