立体図形の問題

難易度 4中学入試の標準レベル算数立体図形

底面の半径が 5 cm、高さが 10 cm の円柱から、底面の円と中心が同じで半径が 3 cm の円を底面とする円柱の形の穴を、上の底面から下の底面まで、まっすぐにくりぬきました。こうしてできた、つつのような形の立体があります。

この立体の表面積（穴の内側の面もふくみます）は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。

5 cm3 cm10 cm

この問題で使うもの

角柱・円柱の表面積（説明と入口の問題）
円の周の長さと面積（説明と入口の問題）
小数の四則計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（6 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

表面を「外側の側面」「穴の内側の側面」「上と下のドーナツの形の面」の 3 つに分けて考えましょう。

ヒント 2

円柱の側面は、開くとたてが高さ、横が底面の円周の長さの長方形になります。どの部分の面積も「□ $\times$ 3.14」の形で表しておくと、最後にまとめて計算できます。

ヒント 3

外側の側面は $100 \times 3.14$ 、内側の側面は $60 \times 3.14$ （どちらも cm²）です。あとはドーナツの形の面 2 つ分を加えます。

答えと解説

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602.88

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解説を読む

表面は、次の 3 つの部分に分けられます。

外側の側面
穴の内側の側面
上と下にある、ドーナツの形をした 2 つの面

外側の側面

側面を開くと長方形になり、たては高さ 10 cm、横は半径 5 cm の円周の長さです。
$5 \times 2 \times 3.14 \times 10 = 100 \times 3.14 (cm^{2})$

穴の内側の側面

たては 10 cm、横は半径 3 cm の円周の長さです。
$3 \times 2 \times 3.14 \times 10 = 60 \times 3.14 (cm^{2})$

上と下のドーナツの形の面

1 つ分は、半径 5 cm の円から半径 3 cm の円を取りのぞいた形なので、
$5 \times 5 \times 3.14 - 3 \times 3 \times 3.14 = (25 - 9) \times 3.14 = 16 \times 3.14 (cm^{2})$
上と下で 2 つあるので、 $32 \times 3.14 (cm^{2})$ です。

合計

3.14 をまとめてからかけると、計算が楽になります。
$(100 + 60 + 32) \times 3.14 = 192 \times 3.14 = 602.88 (cm^{2})$

答えは 602.88 cm² です。

別解

上と下の底面は、大きい円から穴の円をのぞいた形（輪の形）。1 つの面積は $(5 \times 5 - 3 \times 3) \times 3.14 = 16 \times 3.14$ 。2 つで $32 \times 3.14$ 。
外側の側面は、たて 10 cm、横が円周 $5 \times 2 \times 3.14$ の長方形になるので $10 \times 10 \times 3.14 = 100 \times 3.14$ 。
穴の内側の側面は $3 \times 2 \times 3.14 \times 10 = 60 \times 3.14$ 。
合計は $(32 + 100 + 60) \times 3.14 = 192 \times 3.14 = 602.88$ 。
検算: $192 \times 3 = 576$ 、 $192 \times 0.14 = 26.88$ 、合わせて 602.88。

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