立体図形の問題

面を「どの方向を向いているか」で、前後・上下・左右の 3 つに分けて数えます。

大きな立方体を、たて・横・高さそれぞれ 6 個ずつの小さな立方体の集まりと考えます。正面から見て左から 3 列目と 4 列目、下から 3 段目と 4 段目が「正面からのトンネル」、正面から見て左から 3 列目と 4 列目、手前から 3 列目と 4 列目が「上からのトンネル」です。

(1) 前後を向いた面

外側の正面と背面は、それぞれ $6\times 6=36$ (cm²) から穴の $2\times 2=4$ (cm²) を引いて $32$ cm² なので、
$$32\times 2=64({\text{cm}}^2)$$

内側では、上からのトンネルの「手前の壁」と「奥の壁」が前後を向いています。どちらも横 2 cm、高さ 6 cm ですが、高さのまん中の 2 cm は正面からのトンネルとつながっていて壁がありません。残りは上の 2 cm と下の 2 cm なので、1 つの壁は $2\times 2\times 2=8$ (cm²) です。
$$8\times 2=16({\text{cm}}^2)$$

前後を向いた面の合計は $64+16=80$ (cm²) です。

(2) 上下を向いた面

外側の上の面と下の面は、(1) と同じように $32\times 2=64$ (cm²) です。

内側では、正面からのトンネルの「天井」と「床」が上下を向いています。どちらも横 2 cm、奥行き 6 cm ですが、奥行きのまん中の 2 cm は上からのトンネルとつながっていて面がありません。1 つの面は $2\times 2\times 2=8$ (cm²) なので、
$$8\times 2=16({\text{cm}}^2)$$

上下を向いた面の合計は $64+16=80$ (cm²) です。

(3) 左右を向いた面

外側の左の面と右の面には穴がないので、$36\times 2=72$ (cm²) です。

内側では、トンネルの左の壁と右の壁が左右を向いています。左の壁は、上からのトンネルの壁（奥行き 2 cm、高さ 6 cm で $12$ cm²）と、正面からのトンネルの壁（奥行き 6 cm、高さ 2 cm で $12$ cm²）が、まん中の $2\times 2=4$ (cm²) の部分で重なった十字の形をしています。よって、左の壁の面積は
$$12+12-4=20({\text{cm}}^2)$$
右の壁も同じなので、$20\times 2=40$ (cm²) です。

左右を向いた面の合計は $72+40=112$ (cm²) です。

(4) 合計
$$80+80+112=272({\text{cm}}^2)$$

よって、表面積は $272$ cm² です。

2 つのトンネルはどちらも、横方向（左右）の真ん中の 2 個ぶん（左から 3・4 番目）を通っています。そこで、横から見た形（正面から背面への向きと上から下への向きでできる面）で考えます。くりぬいた部分は、その形を横に 2 cm 動かしてできる柱です。

横から見たくりぬいた部分の形は、幅 2 cm・長さ 6 cm のたての帯と横の帯が真ん中で重なった「十字形」です。
その面積は 6×2 + 6×2 − 2×2 = 20 (cm²) です。くりぬいた小さい立方体は 20×2 = 40 個です。

(1) 外側の面
大きな立方体の表面積は 6×6×6 = 216 (cm²) です。
正面・背面・上の面・下の面にそれぞれ 2×2 = 4 (cm²) の穴があくので、4 か所で 16 cm² へります。
外側の面は 216 − 16 = 200 (cm²) です。

(2) 穴の内側の面
・十字形の柱の左右のかべ（左側と右側）：十字形の面積 20 cm² が 2 枚で 20×2 = 40 (cm²)
・十字形のまわりのかべ：十字形のふちには長さ 2 cm の辺が 12 本あり、そのうち 4 本は大きな立方体の外側の面（穴の口）にあたるので、かべになるのは 8 本です。かべの面積は 2×2×8 = 32 (cm²)
内側の面は 40 + 32 = 72 (cm²) です。

(3) 合計
200 + 72 = 272 (cm²)

確かめ：くりぬく前の表面積 216 に、内側の面 72 を足し、穴の口 16 を引いて 216 + 72 − 16 = 272 で一致します。のこった立方体は 216 − 40 = 176 個で、のりでつながっていてくずれません。