立体図形の問題
1 辺が 1 cm の立方体 27 個をすきまなく積み重ねて、1 辺が 3 cm の大きな立方体を作り、床に置きました。小さな立方体どうしはのりでくっついていて、一部を取りのぞいてもくずれません。
いちばん上の段（たて 3 個・横 3 個の 9 個）のうち、4 すみにあるものでも、真ん中にあるものでもない 4 個（それぞれの辺の真ん中にある 4 個）を取りのぞきました。
こうしてできた立体の表面積（床についている底面もふくみます）は何 cm² ですか。
この問題で使うもの
- 立方体を積んだ立体の表面積（説明と入口の問題）
- くりぬいた立体の表面積（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（3 技能）
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ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
もとの立方体の表面積から始めて、小さな立方体を 1 個取りのぞくごとに表面積がどれだけ変わるかを考えましょう。
ヒント 2
取りのぞく立方体について、「もともと表面に出ていた面の数」と「ほかの立方体とくっついていた面の数」をそれぞれ数えます。
ヒント 3
辺の真ん中にある上の段の立方体は、表面に 2 面出ていて、ほかの立方体と 4 面でくっついています。もとの表面積は です。
答えと解説
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解説を読む
小さな立方体の面 1 つの面積は です。
もとの大きな立方体の表面積は
取りのぞく 4 個のうちの 1 個について、表面積がどう変わるかを考えます。
- なくなる面：この立方体は、もとの立体の上の面に 1 面、横の面に 1 面出ていました。取りのぞくと、この 2 面がなくなります。
- 新しく出てくる面：この立方体は、両どなりのすみの立方体 2 個、真ん中の立方体 1 個、下の段の立方体 1 個の、合わせて 4 個とくっついていました。取りのぞくと、それらの 4 面が表面に出てきます。
よって、1 個取りのぞくごとに、表面積は
ふえます。
取りのぞく 4 個はどれもおたがいにとなり合っていない（ななめに並んでいる）ので、4 個それぞれで同じように 2 cm² ずつふえます。
（たしかめ）残った立方体は 個で、面は全部で 面です。くっついている面の組は、もとの立方体では 組あり、取りのぞいた 4 個がそれぞれ 4 組ずつ関係していたので、残りは 組です。表面に出ている面は 面で、答えと合います。
答えは 62 cm² です。
別解
もとの大きな立方体の表面積は cm²。
取りのぞく 4 個は、上の段の辺の真ん中なので、おたがいにとなり合っていない。
1 個を取りのぞくと、その立方体が出していた面（上の面 1 つと外側の側面 1 つの 2 面）がなくなる。かわりに、取りのぞいたあとのまわりの 4 つの面（となりの角の 2 個、真ん中の 1 個、下の 1 個のそれぞれの面）が新しく見えるようになる。
1 個あたり cm²。4 個で cm²。
よって 。